Algèbre maximale d'Abelian von Neumann
Laisser$H$soit l'espace de Hilbert des fonctions à valeurs complexes sur$\mathbb{R}$qui sont de carré intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue.
Qu'est-ce qu'une algèbre maximale concrète de von Neumann de$\mathcal{B}(\mathcal{H})$?
Réponses
Il y a beaucoup de masas dans$B(H)$. Ils peuvent être classés en deux gosses, discrets et continus.
L'exemple canonique d'une masa continue dans votre environnement serait$L^\infty(\mathbb R)$, vus comme opérateurs de multiplication.
L'exemple canonique d'une masse discrète est la masse diagonale : on fixe une base orthonormée$\{e_n\}$, et considérons les projections orthogonales correspondantes$\{E_n\}$. Puis$$ A=\{\sum_ka_kE_k:\ a\in\ell^\infty(\mathbb N)\} $$serait la masse diagonale correspondant à la base orthonormée$\{e_n\}$. Non pas que vous y gagniez quoi que ce soit, mais si vous voulez concrétiser cela, vous pouvez prendre$\{e_n\}$être les polynômes d'Hermite . Ou vous pouvez utiliser un double index et définir$$ e_{n,m}=e^{2\pi in(x-m)}\,1_{[m,m+1)},\qquad n,m\in\mathbb Z. $$Cela ferait$$ (E_{n,m}f)(x)=\langle f,e_{n,m}\rangle\,e_{n,m}=\bigg(\int_m^{m+1}f(t)\,e^{-2\pi i (t-n)}\,dt\bigg)\,e^{2\pi in(x-m)}\,1_{[m,m+1)}. $$Dans ce cas$A$serait composé des opérateurs$$ (T_af)(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}a_{n,m}\,\bigg(\int_m^{m+1}f(t)\,e^{-2\pi i (t-n)}\,dt\bigg)\,e^{2\pi in(x-m)},\qquad x\in[m,m+1), $$où$a\in\ell^\infty(\mathbb Z^2)$.