Anneaux semi-primaires: borne la plus nette pour les longueurs de chaîne des idéaux principaux
Une bague à l'unité $A$ s'appelle semi-primaire, si $\mathfrak r:=\mathrm{Jac}(A)$ est nilpotent et ${A}/{\mathfrak r}$est semi-simple (artinien). J'essaye de trouver une preuve (ou un contre-exemple) pour:
Quand $A$ est semi-primaire et $\mathfrak r^n=(0)$ tandis que ${A}/{\mathfrak r}$ est de longueur $l$ comme un $A$-module, alors chaque séquence d'idéaux principaux gauche (ou droit) dans $A$ a au plus $ln$ inclusions appropriées.
Je suis tombé sur cela en étudiant les caractérisations des anneaux semi-primaires (et d'autres familles). J'ai trouvé la déclaration dans le journal [ 1 (Björk) , section 0], mais Björk la revendique sans preuve. Pour commutatif$A$, c'est certainement vrai (voir la preuve ci-dessous), mais je n'arrive pas à mettre la main sur le cas non commutatif. Si c'est vrai, cela vaut en particulier pour les anneaux artiniens unilatéraux - il serait peut-être plus facile de les aborder en premier, mais je ne suis pas sûr que cela simplifie réellement le problème.
Je serais heureux d'obtenir de l'aide pour prouver la limite nette ou toute idée de contre-exemple.
Edit: Jeremy l'a résolu en donnant un joli contre-exemple dans sa réponse ci-dessous. Comme question complémentaire: est-ce que quelqu'un connaît la limite générale la plus précise$b(l,n)$dans le cas non commutatif? Fin de l'édition
Il existe une version qualitative plus faible:
Un anneau est semi-primaire si et seulement s'il y a une limite supérieure pour les longueurs des chaînes propres des idéaux principaux gauche (ou droit).
Jusqu'à présent, je n'ai trouvé qu'un autre endroit où cela est discuté dans la littérature: [ 2 (livre de Rowen) , Théorème 2.7.7]. Rowen donne une preuve (voir ci-dessous pour un croquis) de la caractérisation qualitative avec la borne générale la plus faible$l^{n+1}-1$ (quand $l>1$). Je pense que l'on peut réellement obtenir$l+l^2+\ldots+l^n$ de sa preuve, mais c'est encore très loin du lien de Björk.
D'ailleurs on pourrait en déduire un résultat plus général comme corollaire:
Pour un arbitraire $A$-module, toute chaîne de sous-modules ayant tous au plus $r$ générateurs, a au plus $b(lr,n)$ inclusions appropriées.
Croquis de la preuve: une telle chaîne appropriée peut être soulevée en une chaîne appropriée de $r$-des sous-modules générés du module gauche (ou droit) $A^r$ et cela correspond à une chaîne appropriée d'idéaux principaux gauche (ou droit) de l'anneau de matrice $C:=M_r(A)$. Maintenant,$C$ est également semi-primaire avec $(\mathrm{Jac}(C))^n=(0)$ tandis que ${C}/{\mathrm{Jac}(C)}$ a la longueur $lr$ plus de $C$, donc nous avons fini par le $r=1$ Cas.
Pour en revenir à l'affirmation de Björk sur les principaux idéaux, voici ce que j'ai réalisé / essayé jusqu'à présent:
Preuve pour les cas $n=1$ et $l=1$, respectivement
$n=1$ est trivial. $l=1$ veux dire $(A,\mathfrak r)$ est local, donc si $\mathfrak a_0\subsetneq\ldots\subsetneq\mathfrak a_m$ est une chaîne appropriée d'idéaux principaux de gauche $A$, puis $\mathfrak a_{m-1}\subseteq\mathfrak r$, Par conséquent $\mathfrak a_{m-1}$ est un ${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$-module avec une chaîne appropriée de sous-modules cycliques de longueur $m-1$. Cela élève à une chaîne appropriée d'idéaux principaux de gauche${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$ de longueur $m-1$. En utilisant l'induction,$m-1\leq n-1$, alors $m\leq n$.
Preuve pour le cas commutatif
Si $A$ est commutative, alors $A\simeq A_1\times\ldots\times A_l$ avec des anneaux locaux $(A_i,\mathfrak m_i)$ avec $\mathfrak m_i^n=(0)$ (le plus petit exposant pourrait en fait être $n_i\leq n$ pour certains des $\mathfrak m_i$) et la chaîne des principaux idéaux $A$ donne les chaînes correspondantes d'idéaux principaux dans chaque $A_i$ (multipliez avec le $i$-th idempotent $e_i$). Les chaînes dans le$A_i$ avoir au plus $n$ (même $n_i$) inclusions propres chacune, par le $l=1$Cas. Par conséquent, la chaîne d'origine en$A$ peut avoir au plus $ln$ (même $n_1+\ldots+n_l$) inclusions appropriées.
Ce que j'ai essayé dans le cas non commutatif
Relation avec des bagues parfaites
Si $\mathfrak r$ est nilpotent, c'est surtout $T$-nilpotent (des deux côtés), donc chaque anneau semi-primaire est parfait à gauche (et à droite). Ces anneaux ont DCC sur les idéaux principaux de droite (gauche) (l'inverse est également vrai). Existe-t-il une preuve «constructive directe» de cette implication? Si c'est le cas, il peut contenir des arguments utiles pour le problème ci-dessus, mais je ne connais que des preuves «indirectes».
Première approche - Adaptation du cas commutatif
J'ai essayé l'induction sur $l$. Pour$l=1$voir au dessus. Maintenant, laisse$l>1$. Comme$A$ est semi-parfait, on peut écrire $A=Ae_1\oplus\ldots\oplus Ae_l$ avec des idempotents locaux orthogonaux par paires $e_i$ avec $e_1+\ldots+e_l=1$. Si$\mathfrak a_0\subseteq\ldots\subseteq\mathfrak a_m$ est une chaîne d'idéaux principaux de gauche $\mathfrak a_j=Aa_j$ dans $A$, alors, pour chaque $i$, on obtient une chaîne $(Aa_je_i)_j$ de sous-modules cycliques de $Ae_i$. Maintenant, les 2 étapes suivantes ne fonctionnent pas :
- $M_i:=Ae_i$ est un (cyclique) $A$-module et ${M_i}/{\mathfrak rM_i}$ a la longueur $l_i=1$. Je voudrais déduire (par exemple par la déclaration plus forte ($\star$) ci-dessous) que la chaîne $(Aa_je_i)_j$ des sous-modules cycliques ont au plus $nl_i=n$ inclusions appropriées.
- Si notre chaîne d'origine a au moins $ln+1$ inclusions et si 1. est vrai, il y a au moins un $j$ avec $\mathfrak a_je_i=\mathfrak a_{j+1}e_i$ pour tous $i$. ensuite$$ \mathfrak a_{j+1}\subseteq\mathfrak a_{j+1}e_1+\ldots+\mathfrak a_{j+1}e_r=\mathfrak a_je_1+\ldots+\mathfrak a_je_r, $$ et nous aurions fini si cela était contenu dans $\mathfrak a_j$. Mais cela ne doit pas nécessairement être vrai, car$\mathfrak a_j$n'est qu'un idéal de gauche .
Le résultat plus général mentionné en 1. est:
($\star$) Si $M$ est un cyclique $A$-module avec $\ell({M}/{\mathfrak rM})=1$ (ou même $=k$), alors chaque chaîne de sous-modules cycliques a au plus $n$ (ou $kn$) inclusions appropriées.
Je ne sais pas si cela est vrai en général. Dans le cas commutatif, on peut à nouveau réduire à$A$ être local, donc $l=1$. ensuite$k=1$ et la chaîne peut être soulevée pour $A$, ce qui réduit au cas $l=1$ Depuis le début.
Deuxième approche - Modulo de réduction $\mathrm{Jac}(A)$
Nous pouvons réduire modulo $\mathfrak r$, c'est-à-dire passer à ${A}/{\mathfrak r}$, ie regarder $\mathfrak a_j+\mathfrak r$. Il y a au plus$n$inclusions appropriées là-bas. Si par hasard,$$ \mathfrak r=\mathfrak a_0+\mathfrak r=\ldots=\mathfrak a_{m-l}+\mathfrak r\subsetneq\ldots\subsetneq\mathfrak a_m+\mathfrak r=A, $$ puis $\mathfrak a_{m-l}$ serait contenu dans $\mathfrak r$, donc c'est un ${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$-module. En soulevant la chaîne de longueur$m-l$ à ${A}/{\mathfrak r^{n-1}}$ (comme dans la preuve du cas $l=1$), nous aurions $m-l\leq (n-1)l$ par induction et être fait.
Cependant, la distribution des $l$ inclusions appropriées après réduction à ${A}/{\mathfrak r}$peut être très arbitraire. J'ai essayé différentes choses, mais je n'ai pas réussi à "connecter" les inclusions ou à manipuler la chaîne (en gardant la longueur et la propreté) pour déplacer les inclusions. D'une manière ou d'une autre, le problème est que la chaîne peut être très "biaisée" par rapport à la chaîne$(0)=\mathfrak r^n\subseteq\ldots\subseteq\mathfrak r\subseteq A$.
On pourrait aussi essayer de réduire modulo $\mathfrak r^{n-1}$ et utiliser l'induction, mais j'ai rencontré des problèmes similaires là-bas (aucun contrôle de l'endroit où les inclusions appropriées se produisent).
Pour avoir une idée de la marche à suivre, j'ai considéré le cas suivant le plus simple $n=l=2$ et a essayé de déduire une contradiction d'une chaîne appropriée $(0)=\mathfrak a_0\subsetneq\ldots\subsetneq\mathfrak a_5=A$. Mais même là, je ne pouvais pas régler tous les cas de distributions des inclusions appropriées après avoir réduit le mod$\mathfrak r$.
Troisième approche - Couper les facteurs de la droite
Chaque chaîne propre ("maximale") d'idéaux principaux à gauche est de la forme $(0)=Aa_0\cdots a_{m-1}\subsetneq Aa_1\cdots a_{m-1}\subsetneq\ldots\subsetneq Aa_{m-1}\subsetneq A$. Maintenant, si nous avons des égalités modulo$\mathfrak r$ de $i$ à $j>i$, c'est à dire $$ Aa_i\cdots a_{m-1}+\mathfrak r=\ldots=Aa_j\cdots a_{m-1}+\mathfrak r, $$ on peut jeter un oeil à la chaîne $$ Aa_i\cdots a_{j-1}\subsetneq\ldots\subsetneq Aa_{j-1}\subsetneq A.\qquad (\star\star) $$C'est toujours vrai. Si c'est assez long, il produira à nouveau des égalités après avoir réduit le modulo$\mathfrak r$. Rowen utilise exactement cette méthode dans sa preuve (mentionnée ci-dessus) et choisit simplement la borne suffisamment grande pour que, après avoir fait$n$ pas de récursion, il obtient une chaîne $$ Aa_i\cdots a_{i+n}\subsetneq\ldots\subsetneq Aa_{i+n} $$ avec $Aa_ja_{j+1}+\mathfrak r=Aa_{j+1}+\mathfrak r$ pour $i\leq j<i+n$. Puis, par un autre argument,$Aa_{i+1}\cdots a_{i+n}\subseteq\mathfrak r^n+Aa_i\cdots a_{i+n}=Aa_i\cdots a_{i+n}$, une contradiction.
Cependant, comme indiqué ci-dessus, cela ne fonctionne qu'avec la très grande borne. Je ne sais pas si certaines parties des arguments pourraient aider à obtenir une preuve de la liaison de Björk. J'ai le sentiment qu'un argument de transition comme ($\star\star$) devraient être utilisées et pourraient même être cruciales.
Cas spéciaux
Il peut être utile de s'attaquer à des cas particuliers pour obtenir des idées de preuves ou même des indices pour des contre-exemples.
Produit d'anneaux
Si $A\simeq A_1\times\ldots\times A_r$, il est facile de réduire $A$ à tous $A_i$en adoptant la preuve du cas commutatif. Cependant, en général$A$ ne doit pas du tout avoir une décomposition du produit - en particulier la décomposition Artin-Wedderburn $A/{\mathfrak r}\simeq M_{l_1}(K_1)\times\ldots\times M_{l_r}(K_r)$ pas besoin de soulever pour $A$. Par exemple$A=\begin{pmatrix} \mathbb{Q} & \mathbb{Q}^{(\mathbb{N})} \\ 0 & \mathbb{Q} \end{pmatrix}$ est un anneau semi-primaire, non artinien, qui n'est pas un anneau de produit (il ne contient pas de paire d'idempotents centraux orthogonaux non triviaux).
Cas de réduction simple - Anneau matriciel sur un anneau semi-primaire local
Si $A/{\mathfrak r}\simeq M_l(K)$, puis $A\simeq M_l(D)$ pour une bague locale $(D,\mathfrak m)$ avec ${D}/{\mathfrak m}\simeq K$ (voir [2 (Rowen), Proposition 2.7.21]), et les chaînes (propres) des principaux idéaux droits dans $A$ correspondent à des chaînes (propres) de $D$-sous-modules de $D^r$ avec au plus $r$générateurs chacun. A part ça, je ne suis pas allé plus loin non plus dans ce cas particulier.
Citations:
[1] Björk: "Conditions de chaîne noéthérienne et artinienne des anneaux associatifs." Cambre. Math. 24 (1973), 366–378.
doi: 10.1007 / bf01228225
[2] LH Rowen: "Théorie des anneaux. Volume 1." Academic Press, San Diego (1988).
https://www.elsevier.com/books/ring-theory-v1/rowen/978-0-12-599841-3
Réponses
Voici un contre-exemple artinien.
Je vais décrire une bague $A$ explicitement, mais dans le langage des carquois avec les relations, si $Q$ est un carquois avec deux sommets, une boucle à chaque sommet et une flèche à partir du sommet $1$ au sommet $2$, puis $A$ est l'algèbre de chemin de $Q$ soumis à des relations rendant tous les chemins de longueur deux égaux à zéro.
Laisser $A$ être l'algèbre sur un champ $k$ avec base $\{e_{1},e_{2},a,b,c\}$, avec tous les produits de deux éléments de base égaux à zéro sauf: $$e_{1}^{2}=e_{1},\quad e_{2}^{2}=e_{2},\quad e_{1}a=a=ae_{1},\quad e_{1}b=b=be_{2},\quad e_{2}c=c=ce_{2}.$$
ensuite
- $A$ est une algèbre associative à cinq dimensions avec unité $1=e_{1}+e_{2}$.
- Le radical Jacobson $\mathfrak{r}$ est couvert par $\{a,b,c\}$, et $\mathfrak{r}^{2}=0$. donc dans la notation de la question,$n=2$.
- $A/\mathfrak{r}\cong k\times k$, donc dans la notation de la question, $l=2$.
- Alors $ln=4$.
Mais il y a une chaîne correctement descendante d'idéaux principaux de gauche $$A > A(a+e_{2}) > Ae_{2} > A(b+c) > Ac > 0$$ avec socles $$\{e_{1},e_{2},a,b,c\}\supset\{e_{2},a,b,c\}\supset\{e_{2},b,c\} \supset\{b,c\}\supset\{c\}\supset\emptyset.$$