Attente de $\int_0^t \frac{1}{1+W_s^2} \text dW_s$ [dupliquer]

Dec 08 2020

J'essaye de calculer l'attente de

$$\int\limits_0^t \frac{1}{1+W_s^2} \text dW_s,$$

$(W_t)$ est un processus Wiener.

On m'a dit que la valeur de cette attente était nulle. Quelqu'un peut-il s'il vous plaît donner une idée pourquoi il serait nul?

Réponses

11 Kevin Dec 08 2020 at 20:15

Par construction, l'intégrale Itô, $I_t=\int_0^t X_s\text{d}W_s$, est une martingale si $\int_0^t \mathbb{E}[X_s^2]\text{d}s<\infty$.

La propriété martingale, $\mathbb{E}_s[I_t]=I_s$ implique $\mathbb{E}[I_t]=I_0=0$.

Car $W_s\overset{d}{=}\sqrt{s}Z$, où $Z\sim N(0,1)$, nous avons en effet \begin{align*} \int_0^t\mathbb{E}\left[\frac{1}{(1+W_s^2)^2}\right]\text{d}s &= \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}\frac{1}{(1+sz^2)^2}e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\text{d}s \\ &\leq \int_0^t\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\mathbb{R}e^{-\frac{1}{2}z^2}\text{d}z\text{d}s\\ &=\int_0^t1\text{d}s \\ &=t<\infty. \end{align*}

@NHN suggère d'utiliser l'argument ci-dessus,$\frac{1}{(1+x^2)^2}\leq1$ pour tous $x\in\mathbb{R}$, pour obtenir directement \begin{align*} \int_0^t\mathbb{E}\left[\frac{1}{(1+W_s^2)^2}\right]\text{d}s &\leq \int_0^t\mathbb{E}\left[1\right]=t<\infty. \end{align*}