Bolzano-Weierstrass et zéros de la fonction analytique complexe
Je travaille sur un exercice de manuel. Une question similaire: une fonction analytique dans une région compacte a un nombre fini de zéros , mais ce n'est pas tout à fait clair pour moi et j'ai aussi peut-être une autre approche? Je veux prouver fondamentalement la même question, que si$f$ est analytique à l'intérieur et sur un contour fermé simple $C$ (sauf éventuellement pour les poteaux à l'intérieur $C$), et si tous les zéros de $f$ sont à l'intérieur $C$ et d'ordre fini, alors les zéros doivent être infiniment nombreux.
J'espère que ma tentative ci-dessous pourra être vérifiée ou corrigée.
Ma tentative:
Supposons le contraire. Puis par Bolzano-Weierstrass, l'ensemble$S$ de tous les zéros de $f$ (qui est infini) contient un point d'accumulation à l'intérieur $C$. Disons que c'est$z_0$. Cette$z_0$ est également un zéro de $f$ car c'est la limite d'une sous-séquence de zéros dans $S$ et $f$est analytique (donc continue aussi). Par hypothèse, c'est un zéro d'ordre fini, disons$m$.
Je prétends que dans n'importe quel quartier $N$ de $z_0$, $f$ne peut pas être identique à zéro. Pour voir ça, écrivez$f(z)=(z-z_0)^mg(z)$ où $g$ est différent de zéro et analytique à $z_0$. Par conséquent, par ces propriétés de$g$, il y a un quartier autour $z_0$ (intersecté avec $N$) où $g$est différent de zéro. Cependant, ce quartier contient un autre zéro (différent), disons$z'$, de $f$par définition de point d'accumulation. Par conséquent,$0=f(z')=(z'-z_0)^mg(z')$, impliquant que $g$ peut être nul dans ce quartier, une contradiction.
Maintenant par un théorème dans le manuel, puisque $f$ est analytique et nul à $z_0$, mais pas à l'identique dans un voisinage de $z_0$, il doit y avoir un voisinage supprimé de $z_0$ où $f$est identique à zéro . Mais encore une fois, dans ce quartier supprimé contient un zéro de$f$, dire $z''$, par définition de point d'accumulation, contredisant $f$étant identiquement non nul là-bas. QED.
Donc mes questions seraient:
Ce qui précède est-il valide? Sinon, quelle partie devrait être améliorée?
Existe-t-il d'autres approches?
Habituellement, Q2 est plus intéressant, mais j'apprécie beaucoup que Q1 soit également répondu. Merci beaucoup!
EDIT: Maintenant que j'y pense après quelques commentaires:
Mon premier paragraphe devrait être bien.
- Quant à mon deuxième paragraphe jusqu'à la conclusion, je devrais le faire comme ceci:
Comme $z_0$ est d'ordre $m$, nous pouvons écrire $f(z) = (z-z_0)^m g(z)$ où $g$ est analytique et non nul à $z_0$. Par continuité de$g$ et étant différent de zéro à $z_0$, il y a un quartier à $z_0$ où $g$est identique à zéro. Suppression$z_0$ Là, $f$est alors différent de zéro dans ce voisinage supprimé. Cependant, cela contredit le fait que$z_0$est un point d'accumulation de zéros. Terminé?
OU
- Une autre méthode, je peux aussi dire: Soit $f$ n'est identiquement nul dans aucun quartier $N$ de $z_0$ , ou $f$ est identique à zéro dans certains quartiers $N$ de $z_0$. Pour le premier, mon troisième paragraphe original suit pour conclure. Pour ce dernier, par théorème d'identité$f$ doit être identique à zéro à l'intérieur $C$. Par analyticité, leurs dérivées de tout ordre sont nulles, montrant un ordre infini. Terminé?
Réponses
Je propose ce qui suit: prouvons que si une fonction $f$ est analytique dans la région $R$ composé de tous les points à l'intérieur et sur un contour fermé simple $C$, sauf éventuellement pour les poteaux à l'intérieur $C$, et si tous les zéros de $f$ dans $R$ sont intérieurs à $C$et sont d'un ordre fi ni, alors ces zéros doivent être fi nis en nombre. Je pense qu'il faut ajouter la condition que$\;f\;$ n'est pas identique à zéro dans tout sous-ensemble ouvert et connecté non trivial de $\;R\;$. Ceci est tiré d'un livre (j'ai déjà trouvé un article à ce sujet de 1981 ...) que je ne peux toujours pas localiser et il semble être quelque chose de très proche de ce que vous voulez réellement. Observez que les conditions ci-dessus pour la fonction$\;f\;$ dire en fait le méromorphe de la fonction sur le domaine entouré par $\;C\;$ .
Preuve: Supposons qu'il y ait des zéros infinis$\;\{z_1,z_2,...\}\;$ de $\;f\;$ à l'intérieur $\;C\;$. Puis par Bolzano-Weierstrass, il existe$\;z_0\;$ sur $\;R\;$ st $\;\lim\limits_{n\to\infty}z_n=z_0\;$. Par continuité de$\;f\;$ , on a ça $\;f(z_0)=0\;$ , aussi.
Puisque nous supposons tous les zéros de $\;f\;$ sur $\;R\;$sont d'ordre fini et isolés , il existe$\;m\in\Bbb N\;$ st $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ , dans un quartier ouvert $\;U\;$ de $\;z_0\;$ et pour certaines fonctions méromorphes $\;g\;$ st $\;g(z)\neq0\;\;\forall\,z\in U\;$. Puisque les pôles possibles de$\;f\;$ à l'intérieur $\;C\;$ sont isolés, on peut prendre un quartier $\;V\;$ de $\;z_0\;$ où il n'y a pas de pôles de $\;f\;$ à l'intérieur $\;V\;$ , et prenez la relation ci-dessus $\;f(z)=(z-z_0)^mg(z)\;$ dans $\;U':=U\cap V\;$, et cette fois $\;g\;$est non nul et analytique en$\;U'\;$ .
Ainsi nous sommes presque à travers, puisque par le théorème d'identité des fonctions analytiques nous obtiendrions que $\;f\;$ serait identique à zéro dans un voisinage connecté de $\;z_0\;$ , puisque ce point est un point d'accumulation d'un ensemble où $\;f\;$ et la fonction zéro coïncident, ce qui contredit la condition supplémentaire ajoutée ci-dessus.