Calcul des développements de séries dans une matrice: exponentielle de la matrice
j'ai un $(3 \times 3)$ matrice $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & - e^{-i \theta} & 0 \\ e^{i \theta} & 0 & - e^{-i \theta} \\ 0 & e^{i \theta} & 0 \end{pmatrix} $$ pour laquelle je voudrais calculer l'exponentielle de la matrice $\exp(t Y) = I + t Y + \frac{t^2 Y^2}{2!} + \ldots $ Si je laisse $z : = e^{i \theta}$, J'ai $$ Y^2 = \begin{pmatrix} - |z|^2 & 0 & |z|^2 \\ 0 & -2 |z|^2 & 0 \\ |z|^2 & 0 & - |z|^2 \end{pmatrix} \\ Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \overline{z} |z|^2 & 0 \\ |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & -2z |z|^2 & 0 \end{pmatrix} $$ et $$ Y^4 = \begin{pmatrix} - \overline{z} |z|^2 (-z - \overline{z}) & 0 & - \overline{z} |z|^2 (z + \overline{z}) \\ 0 & 4 |z|^4 & 0 \\ z |z|^2 (-z- \overline{z}) & 0 & z |z|^2 (z+ \overline{z}) \end{pmatrix}. $$ Réglage $|z| = 1$ et calculer la matrice exponentielle au-dessus de la cinquième puissance $Y^5$, J'ai eu $$ \begin{pmatrix} 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (2 \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 4 \overline{z} + \ldots & \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} \overline{z} (z + \overline{z}) + \ldots \\ tz - \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) + \frac{t^5}{5!} 2 (z + \overline{z}) + \ldots & 1 - \frac{2 t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} 4 + \ldots & - t \overline{z} + \frac{t^3}{3!} (z + \overline{z}) - \frac{t^5}{5!} 2 ( z+ \overline{z}) + \ldots \\ \frac{t^2}{2!} - \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots & tz - \frac{t^3}{3!} 2 z + \frac{t^5}{5!} 4 z + \ldots & 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} z (z + \overline{z}) + \ldots \end{pmatrix} $$ Je pense que je dois être capable de réécrire ceci avec l'aide de $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$ et $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$.
Par exemple, si je regarde le $a_{22}$ terme ci-dessus, je vois que c'est presque $\cos(t)$, à l'exception des facteurs numériques qui ne fonctionnent pas. Également$a_{11}$ le terme est presque $\cos(t)$, sauf qu'il apparaît un terme $\overline{z} (z+ z)$ à partir de la quatrième puissance, et il en va de même pour le $a_{33}$ terme avec $z$ et $\overline{z}$commuté. La$a_{32}$ le terme semble être $z \sin(t)$, mais encore une fois, les coefficients numériques ne fonctionnent pas.
Question: Quelqu'un reconnaît-il le modèle dans ces entrées (c'est-à-dire la série) et est-il capable de calculer la matrice exponentielle$e^{tY}$ sous forme fermée?
Aussi, quelle serait la matrice exponentielle $\exp(tZ)$ de la `` généralisation '' $$Z = \begin{pmatrix} 0 & - \overline{z} & - \overline{z} \\ z & 0 & - \overline{z} \\ z & z & 0 \end{pmatrix} $$ avec $z = e^{i \theta}$ encore?
Réponses
Réglage $z = e^{i \theta}$est une bonne idée. Cela devient un peu plus clair si$(- e^{-i \theta})$ est remplacé par $-1/z$ au lieu de $-\overline z$ (et cela rend le résultat correct même pour des $\theta$).
Nous avons donc $$ Y = \begin{pmatrix} 0 & -1/z & 0 \\ z & 0 & -1/z \\ 0 & z & 0 \end{pmatrix} $$ et les premiers pouvoirs sont $$ Y^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1/z^2 \\ 0 & -2 & 0 \\ z^2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\, , \, Y^3 = \begin{pmatrix} 0 & 2/z & 0 \\ -2z & 0 & 2/z \\ 0 & -2z & 0 \end{pmatrix}\,. \\ $$ On peut voir ça $\boxed{Y^3 = -2Y}$, qui permet de calculer toutes les puissances $Y^n$ en terme de $Y$ ou $Y^2$: $$ Y^{2k+1} = (-2)^{k} Y \\ Y^{2k+2} = (-2)^{k} Y^2 $$ pour $k \ge 1$. Donc$$ \begin{align} \exp(tY) &= I + \left(t-\frac{2t^3}{3!} + \frac{2^2t^5}{5!} - \frac{2^3t^7}{7!} + \ldots\right)Y \\ &\quad + \left(\frac{t^2}{2!} - \frac{2t^4}{4!} + \frac{2^2t^6}{6!} - \frac{2^3t^8}{8!} + \ldots \right)Y^2 \\ &= I + \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}Y + \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right)Y^2 \, . \end{align} $$
Le cas général est décrit dans Calcul de l'exponentiel matriciel La méthode Cayley-Hamilton : Si$A$ est un $n$matrice carrée dimensionnelle et $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ les zéros de l'équation caractéristique $\det(\lambda I - A) = 0$, puis $$ \exp(tA) = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k A^k $$ où $\alpha_0, \ldots, \alpha_{n-1}$ sont les solutions du système d'équations linéaires $$ e^{\lambda_i t} = \sum_{k_0}^{n-1} \alpha_k \lambda_i^k \, , \, 1 \le i \le n \, . $$
Dans notre cas $\det(\lambda I - Y) = \lambda^3 + 2 = 0$ a les zéros $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = i\sqrt 2$, $\lambda_3 = -i \sqrt 2$. Le système d'équations linéaires est$$ \begin{align} 1 &= \alpha_0 \\ e^{i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 + i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \\ e^{-i\sqrt 2 t} &= \alpha_0 - i \sqrt 2 \alpha_1 - 2 \alpha_2 \end{align} \, . $$ La solution est $$ \alpha_0 = 1, \, \alpha_1 = \frac{\sin(\sqrt 2 t)}{\sqrt 2}, \, \alpha_2 = \frac 12 \left(1- \cos(\sqrt 2 t)\right) $$ confirmation du résultat pour $\exp(tY)$ que nous avons obtenu ci-dessus.