Calculer le moment angulaire total de l'objet tournant autour de 2 axes (par exemple la Terre)
Considérez la Terre. Il tourne autour de son propre axe (passant par les pôles) avec une certaine vitesse angulaire$\vec\omega$, et autour du soleil, avec une certaine vitesse angulaire $\vec\Omega$.
Dans chaque manuel / page Web que j'ai vu jusqu'à présent, j'ai vu le moment cinétique dû à l'orbite du soleil étant calculé séparément du moment cinétique dû à la rotation de la Terre autour de son propre axe.
Génial. Mais comment obtenir le moment cinétique complet de la terre?
Je suis conscient de la réponse suivante: Moment angulaire du corps en rotation et en rotation (terre) , mais je ne pense pas que cela réponde à la question. La réponse utilise une vitesse angulaire$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- mais comment obtiendriez-vous même cette vitesse si l'objet tourne autour de 2 axes? Le théorème de rotation d'Euler ne s'appliquera pas, car l'un des axes n'est pas sur l'objet.
Par conséquent, je vais reformuler la question: étant donné une vitesse angulaire en orbite $\vec\Omega$ et vitesse angulaire autour de l'axe de la terre $\vec\omega$, comment trouver le moment cinétique total de la Terre (ou un objet présentant une description de rotation similaire avec 1 axe de rotation sur le corps, l'autre hors)?
Réponses
Tout d'abord, considérez que le spin de la Terre est à un angle par rapport à l'axe orbital.
Ici $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
La rotation combinée (étant donné le titre sur l' axe x négatif par le haut) est
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
qui peut être traduit en
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
Ce qui est intéressant, c'est que vous pouvez calculer le centre de rotation instantané de la terre par rapport à la terre $(c_y,c_z)$ ($c_z$montré négatif ci-dessous). C'est le point sur lequel la terre tourne réellement.
Pour trouver le point, calculez la vitesse orbitale (l' axe x positif est hors de la page)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
puis le centre de rotation
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
ce qui est intéressant compte tenu des unités de distance lunaire (1 LD = 384402000 m )
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
ce qui est presque une DL vers le soleil toujours, et une moitié LD sous la terre au solstice d'été, et une moitié LD sur la terre au solstice d'hiver.
Maintenant que la cinématique de la terre est établie, on peut parler de dynamique.
La terre tourne avec $\vec{w}$ et ainsi son moment cinétique au centre de la terre est $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ où ${\rm I}_E$ est le moment d'inertie de masse de la terre.
Mais puisque la terre traduit aussi, elle a un élan linéaire $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
Pour calculer le moment cinétique de la terre autour du soleil, nous combinons les deux quantités avec la règle suivante
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
Si vous faites le calcul, vous trouverez la majorité du moment cinétique le long de l' axe z , avec une petite composante le long de l' axe y .
Ce qui est intéressant, c'est que vous pouvez trouver l'emplacement dans l'espace où passe l'axe de percussion de la terre. De la même manière que ci-dessus, ce point est
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
L'importance de ce point dans l'espace est que si vous appliquez un élan égal et opposé $\vec{p}$à la terre par le centre de percussion, la terre cesserait non seulement de tourner en orbite, mais aussi de tourner . Vous pouvez supprimer toute l'énergie cinétique de la terre avec une seule impulsion à travers ce point. Cela arrêterait la terre sur ses traces.
De manière surprenante, la règle d'addition de deux vitesses angulaires ne dépend pas du fait que "l'axe de ces vitesses angulaires" passe par l'objet ou non, et de leur intersection ou non.
La vitesse angulaire d'un corps ne dépend pas de votre choix de référentiel inertiel. Supposons que nous ayons une flèche attachée au corps; à l'instant$t_0$ cette flèche pointait vers une étoile lointaine $A$; à l'instant$t_1$ cette flèche pointait vers une autre étoile lointaine $B$- enfin, si c'est vrai, que c'est vrai dans tous les référentiels inertiels. Et à quelle vitesse l'orientation du corps change - cela ne dépend pas du cadre de référence (tant que le cadre de référence est inertiel).
Maintenant, mesurons la vitesse angulaire totale de la Terre. Il est possible de le mesurer d'abord dans le cadre de référence attaché au Soleil et tournant de telle sorte que la vitesse de la Terre soit nulle. Disons que la vitesse angulaire de la Terre dans ce cadre de référence est$\vec\omega$. La vitesse angulaire du cadre de référence est$\vec\Omega$, donc la vitesse angulaire totale de la Terre est $\vec\omega + \vec\Omega$. C'est un vecteur se dirigeant vers l'étoile polaire, sa magnitude est d'environ$1/86164sec$ - où 86164 est le nombre de secondes en jour sidéral, c'est-à-dire la période de rotation de la Terre par rapport aux étoiles éloignées.
Passons maintenant à la deuxième partie de votre question: "Dans chaque manuel / page Web que j'ai vu jusqu'à présent, j'ai vu le moment cinétique dû à l'orbite du soleil étant calculé séparément du moment cinétique dû à la rotation de la Terre autour de son propre axe. "
Cette fois, le cadre de référence est attaché au Soleil et il est inertiel. Une manière «juste» de calculer le moment cinétique total de la Terre dans ce cadre de référence est de diviser la Terre en plusieurs petites parties, de calculer la quantité de mouvement de chaque partie et de résumer les résultats. Un moyen plus simple serait de calculer l'élan autour du centre de masse de la Terre, que de calculer l'élan de la Terre comme si toute sa masse était située dans son centre de masse et d'additionner ces deux vecteurs. Le résultat total serait le même - c'est un simple théorème mathématique.
Notez que l'élan dû à la rotation de la Terre autour de son axe est beaucoup plus petit que l'élan dû à la rotation de la Terre autour du Soleil. Plus important encore, non seulement l'impulsion totale d'Erath (c'est-à-dire la somme de ces deux vecteurs) est constante dans le temps, chacune de ces composantes est elle-même constante! (nous ignorons l'influence de la Lune et d'autres planètes). Donc, si vous voulez calculer les détails de la façon dont la vitesse de la Terre dépend de la distance au Soleil (lois de Keppler), vous pouvez ignorer en toute sécurité la partie "rotation autour de son axe" du moment angulaire de la Terre.