Calculez la valeur attendue dans le jeu de dés.

Question

Nous jouons un jeu en 2 étapes:

Dans la première étape, nous lançons un dé jusqu'à ce que nous obtenions le numéro 6, Soit N le nombre de fois joué jusqu'à ce que nous obtenions 6 pour la première fois.

Dans la deuxième étape, nous lançons N dés (chacun une seule fois).

Question: Laissez$X$ représentent la somme des résultats obtenus à l'étape 2, calculez $E(X|N=n)$:

Ce que je sais? je sais que$N$ est $\operatorname{Geo}(1/6)$ et ça $E(N)=1/(1/6)=6$ pour continuer j'ai besoin de connaître la distribution de $X|N=n$, puis-je obtenir de l'aide?

Answer 1

Si nous jetons $n$ dés, alors la valeur attendue de leur somme est $3.5n$. Cela découle directement du fait que le score moyen sur un dé est$3.5$ (et l'attente est linéaire).

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Laisser $A_i$ égal le résultat de la $i$e lancer de dé. $E(A_i)$ peut être calculé de la manière suivante:$$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5 \, .$$ Laisser $B$ égal à la somme de $n$Rouleaux. \ begin {align} E (B) & = E (A_1) + E (A_2) + \ ldots + E (A_n) \\ & = \ underbrace {3,5 + 3,5 + \ ldots + 3,5} _ {\ text {$n$fois}} \\ & = 3,5n \,. \ end {align}