Caractérisation de spectres discrets automorphes
J'ai récemment découvert la décomposition spectrale automorphe dans le livre "Spectral decomposition and Eisenstein series" de Moeglin et Waldspurger. (Laissez-moi l'appeler MW)
J'ai une question sur la caractérisation des spectres discrets.
Permettez-moi d'expliquer la notation de base comme dans MW.
Laisser$G$être un groupe réducteur connexe sur un corps algébrique$k$et$\xi$être un caractère unitaire de$Z_G(A)$.
Laisser$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$être$L^2$-fonctionne sur$G(k)\setminus G(A)$avec personnage central$\xi$.
Alors,$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$se décompose en l'espace généré par les résidus itérés de la série d'Eisenstein et son complément, qui est décrit par les intégrales directes de la série d'Eisenstein.(MW, IV 2.1)
Permettez-moi d'appeler le premier espace$L^2_d$.
(Je pense que$L^2_d$est la fermeture de la durée de$L^2$formes automorphes dans$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$.)
Appelons la partie semi-simple c'est-à-dire la somme directe de Hilbert des sous-représentations topologiquement irréductibles de$L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$, par un nom$L^2_{ss}$.
Définition du spectre discret et des propriétés continues et fondamentales
Dans l'article ci-dessus, il est appelé spectre discret.
Mes questions sont
- Sommes$L^2_d$et$L^2_{ss}$le même?
- Si oui, comment le prouver ? Peut-on le prouver au moyen d'une analyse fonctionnelle élémentaire (par exemple la connaissance du livre "Functional Analysis" de Walter Rudin) comme la preuve du théorème de Gelfand-Graev-Patetski-Shapiro c'est-à-dire comme en cas cuspidal ?
Je pense qu'il est évident que$L^2_d$contient$L^2_{ss}$, mais je me demande si l'inverse est vrai. J'apprécierais tous les indices pour résoudre cette question. Merci!
Edité : j'ai ajouté une autre question et une définition de$L^2_{ss}$conforme aux commentaires. Merci pour les commentaires!
Réponses
Il est vrai par admissibilité de$L^2_{d}$.
revendication 1. $L^2_{d}$est recevable.
Esquisse de la preuve
Si K-type est fixé, il existe des possibilités finies de caractères infinitésimaux de formes automorphes avec le K-type et dans$L^2_{d}$,par le théorème d'admissibilité de Harish-Chandra pour les représentations cuspidales et les constructions de résidus de séries d'Eisenstein.(cf. MW V3.3, V3.13, Corvallis 4.3)
Donc, toujours par le théorème d'admissibilité de Harish-Chandra, l'espace$L^2_{d}$est recevable.
revendication 2 Représentations unitaires admissibles de G($\mathbb{A}$) sont semi-simples.
Esquisse de la preuve
Il suffit de montrer que toutes les représentations unitaires admissibles non nulles ont une sous-représentation irréductible. (Il s'ensuit alors par le lemme de Zorn.)
Soit$\pi$soit une représentation unitaire admissible non nulle. Alors, il existe un ensemble fini de K-types$\mathcal{F}$tel que$\mathcal{F}$-partie typique de$\pi$, dire$\pi_\mathcal{F}$est non nul.
Laisser$e_\mathcal{F}$soit l'idempotent correspondant dans l'algèbre de Hecke de G,$\mathcal{H}(G)$, et laissez$\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$être$e_\mathcal{F} \ast \mathcal{H}(G) \ast e_\mathcal{F}$.(cf. Corvallis p183, article de Flath, et Chapitre I de Knapp-Vogan.)
Alors$\pi_\mathcal{F}$a une sous-représentation irréductible,$\rho_\mathcal{F}$de$\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$et il génère G($\mathbb{A}$)-sous-espace$\rho$.
Nous prétendons que$\rho$est irréductible.
Autrement,$\rho$décompose la somme directe de deux sous-espaces fermés propres$\rho_{1}$et$\rho_{2}$.
Projection sur$\rho_\mathcal{F}$, soit de$(\rho_i) _\mathcal{F}$est non nul. Par irréductibilité de$\rho_\mathcal{F}$, soit de$(\rho_i)$équivaut à$\rho$et contradiction. (Pour compléter cette preuve, nous devons utiliser une analyse fonctionnelle, par exemple voir 1.6.6 des groupes réductifs réels de Wallach.)