Comment choisir la mesure de la martingale dans les marchés incomplets
Hé, je sais que lorsque le marché est incomplet, nous devons choisir une mesure de martingale équivalente (j'ai entendu parler de la mesure de la martingale Escher Transform, de la mesure de la martingale correctrice moyenne, de la mesure de la martingale à entropie minimale). Mais dans Bjork "Théorie de l'arbitrage en temps continu" est écrit:
Lorsqu'il s'agit de prix de produits dérivés dans un marché incomplet, nous devons donc fixer une mesure martingale spécifique Q, ou de manière équivalente un λ, et la question se pose de savoir comment cela doit être fait.
Question: Qui choisit la mesure martingale?
Réponse: Le marché!
Et je ne le comprends pas vraiment. Nous n'avons donc pas à chercher une mesure Martingale équivalente, mais l'obtenir en calibrant le modèle (sous la mesure physique) aux prix actuels des options?
Réponses
La propriété d'incomplétude dit qu'il existe une infinité de mesures de martingale produisant un intervalle de prix sans arbitrage. En réalité, il faut facturer un prix raisonnable pour une couverture partielle (et non pour une couverture totale) des risques et supporter un risque résiduel, ce qui implique de sélectionner une mesure de martingale équivalente (EMM) basée sur un concept d '«optimalité».
J'inclurai les vues Cont et Tankov de «Modélisation financière avec processus de prélèvement» et «Modélisation financière avec processus de saut» .
(Chapitre 10 dans la deuxième référence) "Dans un marché complet, il n'y a qu'un seul moyen sans arbitrage de valoriser une option: la valeur est définie comme le coût de sa réplication. Dans les marchés réels, ainsi que dans les modèles considérés dans ce livre, les couvertures parfaites n'existent pas et les options ne sont pas redondants: la notion de prix par la réplication se désagrège, non pas parce que la négociation en temps continu est impossible dans la pratique , mais parce qu'il ya des risques que l' on ne peut pas couvrir même par la négociation de temps continu. nous sommes donc forcé de reconsidérer la couverture dans le sens plus réaliste d'approximer un gain cible avec une stratégie de trading: il faut reconnaître que la couverture d'options est une affaire risquée, spécifier un moyen de mesurer ce risque, puis essayer de le minimiser. Différentes façons de mesurer le risque conduisent ainsi à différentes approches de la couverture: la superhedging, la maximisation de l'utilité et la couverture de la variance moyenne font partie des approches examinées dans ce chapitre. Chacune de ces stratégies de couverture a un coût qui peut être calculé en certains cas. La valeur de l'option sera donc constituée de deux parties: le coût de la stratégie de couverture plus une prime de risque, requise par le vendeur d'option pour couvrir son risque résiduel (non remboursable). Nous traiterons ici du premier volet en étudiant différentes méthodes de couverture et leurs coûts associés. La tarification de l'arbitrage n'a rien à dire sur la deuxième composante qui dépend des préférences des investisseurs et, dans un marché d'options concurrentiel, cette prime de risque peut être ramenée à zéro, en particulier pour les options vanille. "
@river_rat mentionne ici (dans les commentaires), dans le contexte du prix du marché de Heston du risque de volatilité, que le paramètre EMM supplémentaire pourrait (devrait) être utilisé "dans la stabilité des ratios de couverture résultants (ce qui est malheureusement généralement une préoccupation secondaire) ".