Comment comprendre intuitivement le $n$-cube dimensionnel à mesure que la dimension devient grande [dupliquer]

Dec 20 2020

Alors j'ai lu * que pour le corps convexe, ie le cube$[-1,1]^n$ dans $\mathbb{R}^n$, la plus petite boule la contenant a un rayon$\sqrt{n}$, tandis que la plus grosse boule à l'intérieur du cube a un rayon$1$.

Également,

"... à mesure que la dimension grandit, le cube ressemble de moins en moins à une boule."

Comment visualiser ces choses quand $n\geq 4$? Je ne peux tout simplement pas le voir!

Ce serait formidable si je pouvais obtenir de l'aide avec l'intuition impliquée ici. Merci!

* Voir page 2 de

Keith Ball, "Une introduction élémentaire à la géométrie convexe moderne" dans Flavours of Geometry , Silvio Levy ed., Cambridge 1997.

Edit: Bien que les réponses suggérées soient très bonnes, je ne pense pas qu'elles concernent la structure géométrique particulière qui m'intéresse dans ma question.

Réponses

2 PrudiiArca Dec 20 2020 at 16:15

Qu'est-ce qui vous fait penser que nous pouvons visualiser des cubes et des sphères supérieurs? Pour$n=4$ vous pouvez jouer à des jeux comme utiliser une sorte de curseur temporel pour dessiner l'intersection de votre objet avec le $xyz$-hyperplane, mais pour $n>4$ ce genre de hacks deviendra indisponible très rapidement.

L' intuition derrière des faits comme ceux que vous citez n'est pas l'intuition mais le calcul . Dans un certain sens, les mathématiques se construisent autour de notre intuition pour un espace à 2, 3 ou peut-être même 4 dimensions, ce qui signifie que la plupart des définitions imitent quelque chose dans ces mondes de faible dimension. Pourtant, les définitions sont beaucoup plus générales dans la mesure où la dimension est inessentielle, nous pourrions donc aussi bien essayer de découvrir ce qu'elles font dans des dimensions supérieures (en pensant aux variétés). Il est dommage que nous ne puissions pas voir ce qui se passe là-bas, car bien sûr, les choses commencent à s'effondrer. Les collecteurs deviennent inamorçables ou ont plusieurs structures lisses distinctes, les résultats de classification sont impossibles à obtenir et les sphères deviennent pointues et par le calcul commencent à sembler et à se comporter plutôt extraterrestres. Pour citer un exemple: la conjecture de Poincaré était l'un des problèmes du millénaire (c'est-à-dire qu'elle était au même niveau de difficulté que l' hypothèse de Riemann ou$P$ contre $NP$) et concernait $3$-sphères. Une géométrie plus élevée est difficile .

D'un autre côté, c'est tout le plaisir des mathématiques abstraites. Les définitions intuitives dérivées d'une petite collection d'exemples se révèlent assez tôt pour avoir des instances plus exotiques mais intéressantes, ce qui rend la définition encore plus intéressante et mérite d'être étudiée.