Comment définir cet ensemble?
Laisser $A_1,..., A_n$être une famille d'ensembles. Je veux créer un ensemble maintenant comme suit:
L'ensemble $B$ est constitué d'unions de toutes les combinaisons possibles d'éléments de n'importe quel ensemble.
Par exemple: Let $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$, $A_2 = \{\{3\}\}$ et $A_3 = \{\{4\}\}$. Puis l'ensemble$B$ devrait être:
$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$
Ma question est la suivante: comment puis-je écrire officiellement cet ensemble?
Mon approche était la suivante:
Commençons par mettre tous les éléments que nous voulons combiner dans le même ensemble: $\bigcup\limits_n A_n$
Alors prenons son jeu de puissance: $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
Dans cet ensemble de puissance, nous avons toutes les combinaisons que nous voulons:
Maintenant, nous pouvons définir $B$ comme:
$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$
Ma question est la suivante: est-ce que je complique trop? Existe-t-il une autre manière de définir cet ensemble?
Réponses
$\bigcup_nA_n$ est la collection de tous les ensembles à partir desquels vous pouvez dessiner des éléments, donc $\bigcup\bigcup_nA_n$ est la collection de tous les éléments que vous pouvez utiliser pour former des membres de $B$; dans votre exemple
$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$
et
$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$
Apparemment, vous ne voulez que les sous-ensembles non vides de $B$, alors
$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$