Comment interpréter la racine carrée du produit interne sur un champ arbitraire?
Dans un espace produit intérieur, la norme $\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle}$est induit. Je me rends compte que j'ai presque toujours traité de nombres réels ou complexes, alors j'ai pris la racine carrée pour acquise.
Lire l'entrée du produit interne sur Wolfram (https://mathworld.wolfram.com/InnerProduct.html), il dit: " Un espace vectoriel avec un produit interne sur celui-ci est appelé un espace de produit interne. Cette définition s'applique également à un espace vectoriel abstrait sur n'importe quel champ. " Cela a été dit après avoir introduit les axiomes dans le contexte d'un espace sur$\mathbb{R}$.
Je suis confus car je ne sais pas comment interpréter la racine carrée dans un champ arbitraire. Je suppose que la manière la plus évidente serait de le définir comme l'élément$a \in \mathbb{F}$ tel que $a^2 = \langle x,x\rangle$. Mais le problème que j'ai est de savoir comment nous savons même si un tel élément existe sur le terrain? Est-ce un résultat standard de la théorie des anneaux?
Ma compréhension a toujours été que les espaces internes des produits (et les espaces normés) ne sont définis que sur les nombres réels ou complexes. Comment les construisez-vous (ou quelque chose d'équivalent) sur un champ arbitraire?
Réponses
L'affirmation n'a pas de sens. Sur les espaces vectoriels$V$ sur un champ arbitraire $k$ nous avons des formes bilinéaires $b(x,y)$. Quand$k=\Bbb{C}$ on regarde aussi les formes sesquilinéaires, ce qui signifie que le second argument est linéaire après application d'un automorphisme $\sigma$du champ (la conjugaison complexe). Mais alors nous pouvons considérer$V$ comme un $k^\sigma$ espace vectoriel pour le rendre linéaire, supposons donc que $b$ est vraiment linéaire.
$q(x) = b(x,x)$ est une forme quadratique.
Une première propriété souhaitable est que $b(x,y)=b(y,x)$ (quand $char(k)\ne 2$ il existe une correspondance biunivoque entre les formes quadratiques et les formes bilinéaires symétriques).
Un deuxième est que $q(x)=0$ iff $x=0$. Dans ce cas$q$ est dit anisotrope.
Quand $k$ est un champ ordonné il y en a un 3e: que $\forall x,q(x)\ge 0$. Avec les précédents, c'est la définition de "$b$ est un produit intérieur ". Quand c'est le cas, alors $\|x\|=\sqrt{q(x)}$ est une sorte de norme (quand $k$ n'est pas un sous-champ de $\Bbb{R}$ puis $\|x\|$n'est pas vraiment évalué, donc c'est un peu différent). Pensez-vous que nous avons toujours$\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|$ ?
$\sqrt{q(x)}$ est un élément de l'extension algébrique de $k$ obtenu en ajoutant toutes les racines carrées des éléments $\ge 0$, il est commandé aussi, par $\sqrt{a}\ge \sqrt{b}$ iff $a\ge b$, puis appliquer la loi des ordres.
Notez que des normes valuées réelles existent dans d'autres champs quelconques, par exemple $\|x\| = 0$ si $x_1=x_2=0$ et $=1$ autrement est une norme à valeur réelle sur $k^2$ pour tout champ, une norme pour la valeur absolue triviale $|a|_{tr}= 0$ si $a=0$ et $=1$ sinon, de telle sorte que $\|ax\|=|a|_{tr} \|x\|$.