Comment les vecteurs affinement (in) dépendants $\mathbb R^n$ disposé dans l'espace?

Question

Considérons un ensemble fini de vecteurs $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

Cet ensemble est linéairement indépendant si $\sum_k \alpha_k v_k=0$ implique $\alpha_k=0$. Géométriquement, je comprends la dépendance linéaire comme indiquant qu'un ensemble de vecteurs est contenu dans un hyperplan passant par l'origine.

D'un autre côté, on dit que $\{v_i\}_i$sont affinement dépendants si$\sum_k \alpha_k v_k=0$ pour $\alpha_k$pas tout zéro et tel que$\sum_k\alpha_k=0$. Y a-t-il une intuition géométrique similaire à visualiser quand un ensemble$\{v_i\}_i$ est affinement dépendant / indépendant?

Answer 1

Votre caractérisation de (in) dépendance linéaire n'est pas tout à fait correcte. Chaque ensemble de vecteurs est contenu dans une sorte d'hyperplan à travers l'origine, à savoir son étendue.

Au lieu de cela, je dirais qu'un ensemble fini de vecteurs est linéairement dépendant s'ils se trouvent dans un hyperplan passant par l'origine dont la dimension est inférieure au nombre de vecteurs de l'ensemble.

Et dans la même veine, un ensemble fini de points dans $\mathbb R^n$est affinement dépendante si elle se trouve dans un hyperplan dont la dimension est inférieure au nombre de points de l'ensemble moins 1 . Ainsi, 3 points différents sur une ligne sont affinement dépendants, mais 2 points différents sur une ligne sont affinement indépendants.

Il y a une autre belle image géométrique de l'indépendance affine:

• une paire de points est affinement indépendante si c'est l'ensemble d'extrémité d'un segment de ligne (ce qui se produit si et seulement si les deux points de cette paire sont inégaux)
• un triplet de points est affinement indépendant s'il s'agit de l'ensemble de sommets d'un triangle
• un quadruple de points est affinement indépendant s'il s'agit de l'ensemble de sommets d'un tétraèdre
• une $k$-tuple de points est affinement indépendant s'il s'agit de l'ensemble de sommets d'un $k-1$simplex dimensionnel .

Answer 2

Comme le dit @ runway44, affinement-dépendant signifie "ils sont tous en hyperplan", bien que probablement un hyperplan qui ne contient pas l'origine. Pour voir cela rapidement, prenez le$k+1$ vecteurs $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ avec $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ et soustraire $v_0$ de chacun de $v_1, \ldots, v_k$ obtenir $w_1, \ldots, w_k$.

Puis les vecteurs $w_k$tous reposent sur un hyperplan parallèle passant par l'origine. (Cela vaut la peine de faire l'algèbre pour l'établir vous-même).

Ou, pour le mettre sous une forme plus classique, si nous prenons $v_0$ comme origine d'un nouveau système de coordonnées, puis le reste $v_i$ les vecteurs se trouvent tous dans un hyperplan.