Comment montrer l'inégalité triangulaire et que la boule ouverte est un idéal compact ?

Question

Sur une bague$F_p[[X]]$de séries formelles à coefficients dans le domaine avec$p$éléments nous avons une métrique$$d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n X^n)=p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}.$$j'ai deux problèmes

1. Problème pour montrer l'inégalité triangulaire . J'ai seulement réussi à voir à quoi ça ressemble$$ p^{-\min\{n|a_n\neq b_n\}}\leq p^{-\min\{n|a_n\neq c_n\}}+ p^{-\min\{n|c_n\neq b_n\}}.$$J'ai essayé d'appliquer le logarithme des deux côtés, mais sans effets. Aussi je ne connais aucune inégalité senible avec les puissances.

2. Problème pour montrer cette balle ouverte en ce qui concerne cette métrique avec le centre dans$0$et tout rayon positif est idéal compact dans$F_p[[X]]$. Notre balle est sous une forme ($r>0$)$K_{0,r}=\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:d(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n,0)\leq r\} =\{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n X^n:p^{-\min\{n|a_n\neq 0\}}\leq r\} $.

A mon avis, il faut montrer que

un)$K_{0,r}$est non vide et$\alpha - \beta\in K_{0,r} \ \forall_{\alpha,\beta\in K_{0,r}}$,

b) si$\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$alors$\gamma \alpha \in K_{0,r}$,

b) si$\gamma\in F_p[[X]], \ \alpha\in K_{0,r}$alors$ \alpha\gamma \in K_{0,r}$.

Malheureusement je n'ai aucune idée de comment prouver cela, qui plus est comment montrer que cet idéal est compact.

Answer 1

En fait c'est un espace ultramétrique : si$g,f,h\in F_p[[X]]$, alors$d$satisfait l' inégalité triangulaire forte (ou ultramétrique ) :

$$d(f,g)\le\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,.\tag{1}$$

Pour distinct$f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n,g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n\in F_p[[X]]$laisser

$$\delta(f,g)=\min\{n\ge 0:a_n\ne b_n\}\,,$$

pour que$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}$.

Laisser$f(X)=\sum_{n\ge 0}a_nX^n$,$g(X)=\sum_{n\ge 0}b_nX^n$, et$h(X)=\sum_{n\ge 0}c_nX^n$. Clairement$(1)$tient si$f=h$,$h=g$, ou$f=g$, supposons donc que$f,g$, et$h$sont tous distincts. Laisser$k=\delta(f,h)$et$\ell=\delta(h,g)$, et sans perte de généralité supposons que$k\le\ell$. Alors$a_n=b_n=c_n$pour chaque$n<k$, alors$\delta(f,g)\ge k$, et donc

$$d(f,g)=p^{-\delta(f,g)}\le p^{-k}=\max\{p^{-k},p^{-\ell}\}=\max\{d(f,h),d(h,g)\}\,,$$

comme voulu.

Dans cette réponse , j'ai prouvé qu'une boule ouverte dans un espace ultramétrique est aussi un ensemble fermé. (La notation y est tirée du PDF auquel l'OP est lié et est un peu étrange :$B(x,r^-)$est simplement la boule ouverte de rayon$r$centré sur$x$.) Dans cette réponse , j'ai montré que les boules ouvertes centrées à l'origine dans$\Bbb Q_p$sont compacts ; avec un peu de travail vous devriez pouvoir l'adapter aux balles en$F_p[[X]]$.

Pour le reste, notez que les boules ouvertes centrées à$0$ont tous la forme suivante :

$$B_k=\left\{\sum_{n\ge 0}a_nX^n\in F_p[[X]]:a_n=0\text{ for }n<k\right\}\,.$$

En utilisant cela, il n'est pas difficile de montrer que$fg\in B_k$chaque fois que$g\in B_k$: si$g\in B_k$, il a un facteur de$X^k$, et donc aussi$fg$. Vérifier qu'il est fermé sous addition est également simple.