Comment pouvons-nous prouver cette identité :$\int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx = 2 \pi I_0(a)$

Question

Comment pouvons-nous prétendre que$$ \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x)) \,dx = 2 \pi I_0(a) $$où$I_0(a)$est une fonction de Bessel modifiée.

J'ai essayé de simplifier comme ci-dessous:\begin{align} \int_0^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx & = \int_0^\pi \exp(i a\cos(x))\, dx + \int_\pi^{2\pi} \exp(i a\cos(x))\, dx\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(i a\cos(\theta + \pi))\, d\theta\\ & = \pi I_0(a) + \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta \end{align}

Comment puis-je montrer que$$ \int_0^\pi \exp(-i a\cos(\theta)) \, d\theta = \pi I_0(a) \text{ ?} $$

Answer 1

Appliquer la substitution$x\mapsto 2\pi-x$, on voit ça

$$\int_\pi^{2\pi}e^{ia\cos(x)}\,dx=\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx$$

Dès lors, nous affirmons que

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} e^{ia\cos(x)}\,dx&=2\int_0^\pi e^{ia\cos(x)}\,dx\\\\ &=2\pi I_0(a) \end{align}$$

comme il fallait le montrer !