comment prouver que le segment$IF=HF+GF$

Aug 16 2020

$AE$et$CD$sont les bissectrices de$\triangle ABC$.$F$est un point arbitraire sur la droite$DE$. Prouve-le$GF+HF=IF$.

j'ai remarqué$3$quadrilatères cycliques. Des idées. Voici la photo

Réponses

6 JeanMarie Aug 16 2020 at 15:00

Considérez les coordonnées trilinéaires (https://en.wikipedia.org/wiki/Trilinear_coordinates) d'abord dans le cas où$F$est à l'intérieur du triangle$ABC$.

$D$et$E$, étant des pieds de bissectrices d'angle, ont resp. coordonnée trilinéaire.$(1,1,0)$et$(0,1,1)$. Par conséquent, l'équation trilinéaire de la droite$DE$est:

$$\begin{vmatrix}1&0&x\\1&1&y\\0&1&z\end{vmatrix}=0 \ \ \iff \ \ x-y+z=0\tag{0}$$

Interprétariat$(x=FG,y=FH,z=FI)$, on a:

$$FG+FI-FH=0\tag{1}$$

( qui n'est pas la relation donnée ! )

Maintenant si$F$n'est pas à l'intérieur du triangle$ABC$, voici les autres cas :

  • Dans le cas représenté sur la figure donnée ($F$"juste à l'extérieur"$[DE]$Du côté de$E$), une seule des coordonnées trilinéaires,$FG$, subit un changement de signe ; donc (1) devient :

$$\color{red}{-}FG+FI-FH=0\tag{2}$$

ce qui revient à la relation donnée , cette fois !

Si, dans le cas de la figure donnée,$F$est loin, un deuxième changement de signe se produit, maintenant pour la distance signée$FH$, transformant (2) en :

$$-FG+FI\color{red}{+}FH=0\tag{3}$$

qui est une troisième formule.

  • si, au contraire,$F$est en dehors du segment de ligne$[D,E]$mais du côté de$D$, nous devons changer$FI$en son contraire en (1), redonnant la relation (3).

Remarque sur la relation (0) : nous l'avons obtenue en travaillant jusqu'à une constante multiplicative ; cela n'a pas d'importance car nous traitons des relations ayant un zéro dans leur membre droit.