Confusion au sujet du lemme de Yoneda
Laisser $C$ être une catégorie et $F$ un préheaf sur $C$. Le lemme de Yoneda déclare que les transformations naturelles$C(-, A)\Rightarrow F$ sont en correspondance individuelle avec les éléments de $F(A)$.
Pour moi, cette déclaration ne me semble pas motivée. Je sais que si l'on considère le cas particulier$F=C(-, B)$, puis (par le lemme de Yoneda) $C(-, -)$ donne une incorporation (c'est-à-dire un foncteur complet et fidèle) de $C$ dans la catégorie des pré-poussées sur $C$. Cela semble assez motivé, car l'intégration$C$ dans la catégorie des pré-poussées sur $C$ se sent un peu comme intégrer un champ $k$ dans sa fermeture algébrique $\bar{k}$. De plus, la catégorie des pré-poussoirs semble également plus concrète que la catégorie abstraite$C$.
Mais pourquoi s'intéresse-t-on à l'énoncé général où $F$peut être n'importe quel pré-feuilleté. Pourquoi est-ce une affirmation naturelle? Comment peut-on avoir l'idée de considérer le lemme de Yoneda comme indiqué ci-dessus?
J'ai encore une autre question sur le lemme de Yoneda. Comme je l'ai dit, on a une incorporation de$C$ dans $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ (la catégorie des pré-poussées sur $C$). En considérant les foncteurs covariants$C\to\mathbf{Sets}$ au lieu de pré-poussées, on peut aussi prouver une version covariante du lemme de Yoneda, qui déclare que les transformations naturelles $C(A, -)\Rightarrow F$ (pour $F\colon C\to \mathbf{Sets}$ tout foncteur) sont en correspondance biunivoque avec les éléments de $F(A)$. De celui-ci obtient une intégration de$C$ dans $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$.
Donc pour résumer, on peut intégrer $C$ dans les deux $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ et $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$. Question: comment faire$[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ et $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$ se rapportent les uns aux autres?
Ce que je trouve un peu bizarre dans la situation: au début, je m'y attendais $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ et $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$être équivalent. Mais un fait général est que$$[C, D]^\text{op}\cong [C^\text{op}, D^\text{op}],$$ Donc $$[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}\cong[C^\text{op}, \mathbf{Sets}^\text{op}],$$ qui n'est pas $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$.
Réponses
Voici une réponse possible à cette question.
Prenons le point de vue que les foncteurs sont des représentations de catégories.
Premièrement, pourquoi est-ce raisonnable?
Eh bien, rappelez-vous que les catégories sont des généralisations de monoïdes (et par conséquent également de groupes), car une catégorie à un objet est la même chose qu'un monoïde. Si$M$ est un monoïde, alors nous pouvons définir une catégorie, $C$, avec un objet, $*$, ensemble hom $C(*,*)=M$, et unité et composition données par l'unité et multiplication en $M$. Inversement, étant donné une catégorie d'objet unique$C$, $C(*,*)$ est un monoïde avec composition comme multiplication, et ces constructions sont inverses les unes par rapport aux autres.
A partir de maintenant, si $M$ est un monoïde, ou $G$ est un groupe, j'écrirai $BM$ ou $BG$ pour la catégorie d'objet correspondante.
Maintenant, qu'en est-il des foncteurs? Eh bien, que sont les foncteurs$[BG,k\newcommand\Vect{\text{-}\mathbf{Vect}}\Vect]$?
Eh bien, nous devons choisir un espace vectoriel $V$ envoyer $*$ à, et nous devons choisir un homomorphisme monoïde $G\to \newcommand\End{\operatorname{End}}\End V$. Depuis$G$ est un groupe, cela équivaut à un homomorphisme de groupe $G\to \operatorname{GL}(V)$. En d'autres termes, les foncteurs de$BG$ à $k\Vect$ sont exactement les mêmes que les représentations de groupes linéaires, et vous pouvez vérifier que les transformations naturelles des foncteurs correspondent exactement à la $G$-cartes linéaires équivariantes.
De même, lorsque nous remplaçons $k\Vect$ avec $\newcommand\Ab{\mathbf{Ab}}\Ab$, ou $\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$, on a $G$-modules et $G$-sets respectivement.
Plus précisément, ce sont tous à gauche $G$-actions, depuis un foncteur $F:BG\to \Set$ doit préserver la composition, donc $F(gh)=F(g)F(h)$, et nous définissons $g\cdot x$ par $F(g)(x)$. Donc$(gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x))$.
Un foncteur contravariant $\newcommand\op{\text{op}}BG^\op\to \Set$ donne un droit $G$-action, depuis maintenant $F(gh)=F(h)F(g)$, donc si nous définissons $x\cdot g = F(g)(x)$, ensuite nous avons $$x\cdot (gh) =F(gh)(x) = F(h)F(g)x = F(h)(x\cdot g) = (x\cdot g)\cdot h.$$
Il faut donc penser aux foncteurs covariants $[C,\Set]$ comme à gauche $C$-actions dans $\Set$, et nous devrions penser aux foncteurs contravariants $[C^\op,\Set]$ comme juste $C$-actions dans $\Set$.
Lemme de Yoneda en contexte
Les pré-poussées représentables correspondent désormais aux objets libres dans une seule variable au sens suivant.
Le lemme de Yoneda est que nous avons un isomorphisme naturel $$ [C^\op,\Set](C(-,A),F)\simeq F(A)\simeq \Set(*,F(A)). $$
En d'autres termes, $C(-,A)$ ressemble beaucoup à l'adjoint gauche du foncteur "oublieux" qui envoie un pré-feuillet $F$ à son évaluation à $A$, $F(A)$, mais évalué sur l'ensemble singleton $*$.
En fait, nous pouvons tourner $C(-,A)$ en un adjoint à gauche en notant que $$\Set(S,F(A)) \simeq \prod_{s\in S} F(A) \simeq \prod_{s\in S}[C^\op,\Set](C(-,A),F) \simeq [C^\op,\Set](\coprod_{s\in S} C(-,A), F),$$ et $\coprod_{s\in S} C(-,A)\simeq S\times C(-,A)$.
Ainsi, une façon d'énoncer le lemme de Yoneda est que $S\mapsto S\times C(-,A)$ est laissé adjoint à l'évaluation à $A$functor (dans le sens où les deux instructions sont équivalentes via une courte preuve). Soit dit en passant, il y a aussi un adjoint droit à l'évaluation à$A$functor, voir ici pour l'argument.
Relier cela à des notions plus familières
La première chose à remarquer dans ce point de vue est que nous avons maintenant des notions de «libre sur un objet» plutôt que simplement de «libre». Ie, j'ai tendance à penser à$C(-,A)$ comme étant la pré-feuille libre dans une variable sur $A$ (ce n'est pas une terminologie standard, juste comment j'y pense).
Maintenant, il faut faire attention, un objet libre n'est pas seulement un objet, c'est un objet et une base . Dans ce cas, notre base (élément qui génère librement la pré-feuille) est l'élément d'identité$1_A$.
En y réfléchissant de cette manière, la preuve du lemme de Yoneda devrait, espérons-le, être plus intuitive. Après tout, la preuve du lemme de Yoneda est la suivante:
$C(-,A)$ est généré par $1_A$, depuis $f^*1_A=f$, pour toute $f\in C(B,A)$, des transformations si naturelles $C(-,A)$ à $F$ sont uniquement déterminés par l'endroit où ils envoient $1_A$. (Analogue à dire$1_A$ travées $C(-,A)$). De plus, tout choix$\alpha\in F(A)$ de l'endroit où envoyer $1_A$ est valide, car on peut définir une transformation naturelle en "étendant linéairement" $f=f^*1_A \mapsto f^*\alpha$ (cela revient à dire $1_A$ est linéairement indépendant ou forme une base).
La version covariante du lemme de Yoneda est exactement la même idée, sauf que nous travaillons maintenant avec des représentations de gauche de notre catégorie.
Exemples du lemme de Yoneda dans des contextes plus familiers
Considérez la catégorie d'un objet $BG$, alors le lemme de Yoneda dit que la bonne représentation régulière de $G$ est le droit libre $G$-set dans une variable (avec l'élément de base étant l'identité, $1_G$). (Le gratuit dans$n$-variables est l'union disjointe de $n$ copies de la bonne représentation régulière.)
La déclaration d'intégration est maintenant que $G$ peut être intégré dans $\operatorname{Sym}(G)$ via $g\mapsto -\cdot g$.
Cela fonctionne également dans des contextes enrichis. Un anneau est précisément une catégorie d'objet unique enrichie en groupes abéliens, et le lemme de Yoneda dans ce contexte dit que la bonne action de$R$ sur lui-même (souvent noté $R_R$) est le droit libre $R$-module dans une variable, la base étant l'élément unitaire $1_R$. (Le gratuit dans$n$-variables est maintenant la somme directe de $n$ copies de $R_R$)
La déclaration d'intégration ici est que $R$ peut être intégré dans l'anneau d'endomorphisme de son groupe abélien sous-jacent via $r\mapsto (-\cdot r)$.