Confusion sur la définition (dans la théorie ΨDO) des espaces de Sobolev sur des ensembles ouverts dans l'espace euclidien

Question

Je lis Opérateurs pseudodifférentiels de ME Taylor, où l'auteur parle$H^s(\Omega)$ pour $s\in\mathbb{R}$ et $\Omega\subset\mathbb{R}^n$un ensemble ouvert (par exemple, dans l'énoncé de l'inégalité de Gårding) sans jamais le définir. En effet, il n'a défini de tels espaces de Sobolev que pour$\mathbb{R}^n$et collecteurs compacts. Dans ces deux cas, on a un$s$-Opérateur pseudo-différentiel d'ordre $\Lambda^s$ (avec symbole principal $\langle\xi\rangle^s$) qui induit un isomorphisme $H^s\to L^2$. Cela pourrait être considéré comme la définition de$H^s$. Cependant, je ne sais pas comment faire de même pour les ensembles ouverts généraux dans l'espace euclidien. Quelques idées:

1. A la page 51, l'auteur remarque que cela se fait en modifiant $\Lambda$afin qu'il soit correctement pris en charge. Cependant, je ne sais pas ce qu'il entend par là.
2. Peut-être pourrait-on utiliser le calcul fonctionnel sur le laplacien standard $\Delta$. Il y a plusieurs problèmes avec cette approche: (a) J'aurais besoin$\Delta^{s/2}$ à définir sur l'espace des distributions (pour que la définition soit comme: une distribution $u$ appartient à $H^s$ si $\Delta^{s/2}u\in L^2$), mais le calcul fonctionnel ne le définit que sur un sous-espace de $L^2$. (b) Est$\Delta^{s/2}$ vraiment un opérateur pseudo-différentiel avec le bon symbole?

Alors, quelle est la définition correcte dans ce contexte? Toute aide serait appréciée!

Answer 1

1. Définitions typiques des espaces de Sobolev

Pour un sous-ensemble ouvert général $\Omega$ (sans hypothèses de régularité sur sa frontière), les espaces de Sobolev $H^s(\Omega)$ sont d'abord définis pour $s\in \mathbb{N}$ (de manière évidente: dérivés à la commande $s$ doit être dans $L^2$) et pour général $s\in \mathbb{R}$ via interpolation / dualité.

Toutefois, si $\partial \Omega$ est suffisamment régulière il existe un moyen plus simple: supposons pour simplifier que $\partial \Omega \in C^\infty$, alors on définit généralement $H^s(\Omega)$ comme l'espace des distributions sur $\Omega$ qui admettent une extension à $\mathbb{R}^d$ qui réside dans $H^s(\Omega)$. De manière équivalente$H^s(\Omega)=rH^s(\mathbb{R}^d)\subset\mathcal{D}'(\Omega)$, où $r:\mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)\rightarrow \mathcal{D}'(\Omega)$est l'opérateur de restriction. Cela donne les mêmes espaces que dans le premier paragraphe.

Comme référence sur ces choses, je peux recommander le livre PDE de Taylor, qui contient un chapitre entier sur diverses définitions des espaces de Sobolev. (Aussi pour$\mathbb{R}^d$ remplacé par un collecteur fermé).

1. Échelles elliptiques

Maintenant, en ce qui concerne le commentaire sur correctement pris en charge $\psi$faire $\Lambda^s$ vous pouvez considérer le lemme 7.1 dans Shubin $\psi$réservez. En effet, cela stipule que sur une variété arbitraire$X$ (en particulier vous pourriez prendre $X=\Omega$) qu'il existe une échelle d'opérateurs correctement pris en charge $\Lambda^s\in \Psi^s_{\mathrm{cl}}(X)$(indice indiquant la classicité) avec des symboles principaux positifs. Shubin définit ensuite les espaces Sobolev locaux par$H^s_\mathrm{loc}(X)=\{u\in \mathcal{D}'(X): \Lambda^su\in L^2_{\mathrm{loc}}(X)\}$ et prouve que cela est équivalent à d'autres définitions.

Le fait est que pour une variété générale (non compacte), c'est aussi bon que possible: il n'y a pas de notion de $H^s(X)$sans spécifier le comportement de ses fonctions à l'infini. Si$X$ se trouve être un sous-ensemble ouvert de $\mathbb{R}^d$ ou une variété fermée, le comportement à l'infini (ou plutôt à la frontière) est spécifié en exigeant que les fonctions soient extensibles à travers $\partial X$ et nous sommes dans le cadre des premiers paragraphes.

Et qu'est-ce qui se passerait si $X$ a une métrique riemannienne $g$? Je suppose que dans ce cas on pourrait définir$H^s(X,g)$ pour $s\in \mathbb{N}$ en exigeant que ses fonctions satisfassent $X_1\dots X_k f \in L^2(M,g)$ pour tout champ vectoriel $X_1,\dots,X_k$ $(0\le k \le s)$ qui satisfont $\vert X_i \vert_g\in L^\infty(X)$. Pour non-entier$s$ puis via interpolation \ dualité.

Si $(X,g)$ se trouve être complet (comme $\mathbb{R}^d$), puis Gaffney a montré que le Laplacien $1+\Delta_g$ a une réalisation auto-adjointe unique en $L^2(X,g)$ et je suppose qu'on pourrait appeler son domaine $\tilde H^2(X,g)$. La même chose est vraie pour ses pouvoirs et ainsi nous pouvons définir$\tilde H^s(X,g)$ pour $s\in 2\mathbb{N}$ et étendre au général $s$par interpolation / dualité. Je ne serais pas surpris (mais je ne l'ai pas vérifié), si en effet$H^s(X,g)=\tilde H^s(X,g)$ dans ce cas.

1. Pouvoirs complexes

Vous vouliez savoir si vous pouviez définir des espaces Sobolev sur $\Omega$via les pouvoirs du Laplacien. Il est plus logique de prendre des pouvoirs de$P=1+\Delta$ (par analogie avec $\mathbb{R}^d$) et en effet il existe une belle théorie qui vous dit que c'est possible, du moins si vous êtes sur une variété fermée. Alors supposons que$\Omega$ vit à l'intérieur d'un collecteur riemannien fermé $(M,g)$ (et $\partial \Omega \in C^\infty)$, puis $P^z$ est défini pour tous $z\in \mathbb{C}$ et est un classique $\psi$faire de l'ordre $\mathrm{Re}(z)$avec les propriétés algébriques évidentes. (Cela est dû à Seeley, mais vous pouvez trouver un joli compte-rendu à ce sujet dans le livre de Shubin).

Maintenant, vous voudrez peut-être définir $H^s(\Omega)=\{f:P^s f\in L^2(\Omega,g)\}$ et au moins pour $s\in \mathbb{N}$ cela donne le même que défini au début, c'est-à-dire $H^s(\Omega) = r H^s(M)$. Un critère suffisant pour que les deux espaces s'accordent est que$P^s$satisfait la condition dite de transmission à$\partial \Omega$: Ceci est la définition 18.2.13 de Hörmander et dit que $rP^se_0(C^\infty(\bar \Omega)) \subset C^\infty(\bar \Omega)$, où $e_0$désigne une extension par zéro. Maintenant pour les nombres entiers positifs$P^s$est un opérateur différentiel et satisfait clairement la condition. Pour les puissances non entières, cela peut échouer, comme indiqué au début de la page 184 ici . C'est tout ce que je peux dire à ce sujet pour le moment.