Continuité d'une rétraction de déformation inhabituelle

Question

Supposons qu'on nous donne une chaîne dénombrable d'espaces topologiques $X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ et laissez $X = \bigcup_n X_n$; et supposons en outre que pour chaque$n$ nous avons une rétraction de déformation $F_n : X_{n+1} \times I \to X_n$. Je voudrais construire une rétraction de déformation à partir de$X$ à $X_0$ en effectuant $F_n$ dans l'intervalle de temps $[1/2^{n+1}, 1/2^n]$, tenant chaque point de $X_{n+1} - X_n$ stationnaire en dehors de cet intervalle.

J'ai du mal à montrer que cette carte est continue. Nous pouvons obtenir la continuité$X \times (0,1]$ facilement du lemme de collage, mais je ne sais pas comment l'élargir à tous $X \times I$, en raison du comportement étrange de la fonction au début de l'intervalle.

EDIT: Je viens d'apprendre que la carte n'est pas continue en général, alors laissez $X$ être un complexe CW et le $X_n$est le squelette associé.

Answer 1

Ce n'est pas vrai en général, vous allez donc devoir déterminer quelles hypothèses supplémentaires sont nécessaires pour la preuve et sont vraies quelle que soit l'application que vous avez à l'esprit.

Pour un simple contre-exemple, prenez $$X = S^1 = \{(\cos(2 \pi \theta),\sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (0,1]\} \subset \mathbb R^2 $$avec la topologie du sous-espace. Et puis prenez$$X_n = \{(\cos(2 \pi \theta), \sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (1/n,1] \} \subset X $$également avec la topologie de sous-espace. Chaque$X_n$ la déformation se rétracte à $(1,0)$, mais $S^1$ la déformation ne se rétracte pas $(1,0)$.

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Je vais vous présenter une situation intéressante et générale dans laquelle cela fonctionne en général, à savoir où $X$est un complexe CW. La topologie CW peut être utilisée pour montrer que l'extension continue de$X \times [0,1]$ existe.