Définition unique des composants analytiques d'une fonction définie dans un anneau
Dans son livre "Analyse complexe" (5.1.3), en parlant de la série de Laurent, Ahlfors montre qu'une fonction complexe$f(z)$, qui est analytique dans un anneau $R_1 < |z-a| < R_2$, peut toujours être écrit comme un
[...] somme $f_1(z) + f_2(z)$ où $f_1$ est analytique pour $|z-a|<R_2$ et $f_2$ est analytique pour $|z-a|>R_1$ avec une singularité amovible à $\infty$.
où
$$f_1(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta-a|=r} \frac{f(\zeta) d\zeta}{\zeta-z} \text{ for $| za | <r <R_2$ } $$
$$f_2(z) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta - a|=r} \frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-z} \text{ for $R_1 <r <| za |$}$$
Ensuite, comme la valeur de $r$est "sans importance tant que l'inégalité est comblée" ,$f_1$ et $f_2$ sont définis de manière unique et représentent des fonctions analytiques dans $|z-a|<R_2$ et $|z-a|>R_1$respectivement (voir aussi cette question et réponses ).
J'essaie de comprendre ce que cela signifie pour $f_1$ et $f_2$être défini de manière unique . Et si je prends, par exemple$f_3(z)=f_1(z)+z$ et $f_4(z)=f_2(z)-z$? Il me semble toujours vrai que$f_3(z) + f_4(z) = f(z)$ et $f_3(z)$ est analytique dans $|z-a|<R_2$, tandis que $f_4(z)$ semble analytique à $|z-a|>R_1$ (Je ne sais pas ce que nous pouvons dire à l'infini, cependant; aussi, je ne vois pas comment je pourrais écrire $-z$ comme somme de puissances négatives).
Je pose cette question aussi à la lumière de ce que Penrose dit dans son livre "The road to reality" (9.3), quand (expliquant la division de fréquence sur la sphère de Riemann) il dit:
Nous pensons à notre séparation de $F(z)$ comme l'exprimant comme une somme de deux parties, dont l'une s'étend de manière holomorphique dans l'hémisphère sud - appelée la partie à fréquence positive de $F(z)$: Tel que défini par $F^\mathbf{+}(z)$, avec n'importe quelle partie du terme constant que nous choisissons d'inclure, et l'autre, s'étendant de manière holomorphique dans l'hémisphère nord - appelée la partie à fréquence négative de $F(z)$ tel que défini par $F^\mathbf{-}(z)$et la partie restante du terme constant. Si nous ignorons le terme constant, cette division est uniquement déterminée par cette exigence d'holomorphicité pour l'extension dans l'un ou l'autre des deux hémisphères.
Ici $F(z)$est une fonction qui est "holomorphe dans une région ouverte comprenant le cercle unitaire" .
Donc, dans ce cas, sont $F^\mathbf{+}$ et $F^\mathbf{-}$unique (à part un terme constant)? Est alors$F^\mathbf{-}=f_1$ et $F^\mathbf{+}=f_2$? Peut-être que cela découle également du caractère unique du développement Laurent$F$ (exercice d'Ahlfors, même section), mais je ne vois pas comment.
Merci et désolé pour la question idiote (peut-être)!
Réponses
La fonction $f_2$ a une singularité amovible à $\infty$. Cela signifie que la limite$\lim_{z\to\infty}f_2(z)$ existe (dans $\Bbb C$). Si$f_4(z)=f_2(z)-z$, alors ce n'est pas vrai que$\lim_{z\to\infty}f_4(z)$ existe (encore une fois, dans $\Bbb C$).