Déplacement du différentiel extérieur / dérivé à l'intérieur d'un produit en coin
Hypothèses : Soit$M$être lisse$m$-collecteur. (Si nécessaire : laissez$M$être orientable puis orienté. Laisser$M$être compacte. Laisser$(M,g)$une variété riemannienne.)
Laisser$\Omega^jM$être l'ensemble de lisse$k$-formulaires sur$M$, pour$j=0, 1, ..., m$. Laisser$d_j: \Omega^jM \to \Omega^{j+1}M$être extérieur différentiel / dérivé sur$\Omega^jM$(basé sur$d: \Omega(M) \to \Omega(M)$, avec$\Omega(M)$ $:= \bigoplus_{j=0}^{m} \Omega^jM$).
Laisser$k \in \{0, 1, ..., m\}$. Laisser$(\alpha, \gamma) \in \Omega^kM \times \Omega^{m-(k+1)}M$.
Observations :
- $d_k \alpha \wedge \gamma$est une forme supérieure lisse (alias lisse$m$-forme)
- $(-1)^{1+k^2} \alpha \wedge d_{m-(k+1)}\gamma$est une forme supérieure lisse (alias lisse$m$-forme)
Question 1 : En supposant que les observations ci-dessus sont correctes, sont-elles égales ?
Question 2 : En général, pouvons-nous simplement déplacer le différentiel/dérivé extérieur à travers les produits en coin et simplement multiplier$(-1)^{\text{something}}$?
Question 3 : Dans tout ce qui précède, supposons-nous des choses supplémentaires sur$M$comme orientable/orienté/compact/riemannien ?
Question 4 : Si non à la question 1, alors chacune des 2 formes a-t-elle au moins des intégrales égales, c'est-à-dire les valeurs que nous obtenons lorsque nous branchons chacune sur$\int_M$sont égaux? Ici, on suppose maintenant$M$est orientable puis orienté et je suppose compact (sinon je suppose que nous devons supposer que les formulaires ont un support compact ou quelque chose).
Contexte : Cela vient de certaines définitions et propositions menant au théorème de décomposition de Hodge, y compris la définition de l'opérateur étoile de Hodge, mais j'essaie de voir si je comprends correctement les parties non-Hodge. ($\gamma$est en fait l'image de certains$\beta \in \Omega^{k+1}M$sous l'opérateur Hodge-star.)
Réponses
Voici une tentative de réponse.
Question 1 Il n'y a pas besoin d'une telle égalité. Ce qui est vrai c'est que$$ d\left(\alpha\wedge \gamma \right) = d\alpha \wedge \gamma + (-1)^{\deg\alpha}\alpha \wedge d\gamma $$
Et supposer que votre égalité est vraie conduira à une hypothèse sur$d(\alpha\wedge\gamma)$
Voici un contre-exemple concret :\begin{align} \alpha &= dx^1 & \gamma = x^2dx^3\wedge\cdots\wedge dx^n \\ d\alpha \wedge \gamma &= 0 & \alpha \wedge d\gamma = dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n \end{align}
Question 2 la réponse est non. Voir au dessus.
Question 3 ci-dessus, les calculs sont locaux, donc cela ne dépend pas de la compacité ou de l'orientabilité : étendre le contre-exemple par zéro en dehors d'un graphe.
Question 4 la réponse est toujours non : dans le contre-exemple ci-dessus,$d\alpha\wedge \gamma = 0$, a donc une intégrale nulle, mais$\alpha\wedge d\gamma$est une forme volumique sur une variété orientable, elle a une intégrale non nulle.
En ce qui concerne la réponse de @ JanBohr (qui conduit à deux réponses auto-référentielles), je dois ajouter qu'au cas où$M$est orienté, alors le théorème de Stokes stipule que$$ \int_M d(\alpha\wedge \gamma) = \int_{\partial M} \alpha\wedge \beta $$Et ainsi,$$ \int_M d\alpha \wedge \gamma = (-1)^{\deg \alpha+1}\int_{M}\alpha\wedge d\gamma + \int_{\partial M}\alpha\wedge \gamma $$et donc il y a (au signe près) une égalité dès que$M$n'a pas de limite ou$\alpha\wedge \gamma$est nul sur$\partial M$.
L'une des propriétés déterminantes de la différentielle extérieure est la règle de Leibniz$$d(\alpha\wedge \gamma)=d\alpha\wedge \gamma+(-1)^{k} \alpha\wedge d\gamma,$$où$k$est le degré de$\alpha$, voir par exemple sur wikipedia . Cela est vrai pour les variétés lisses arbitraires, pas besoin d'une métrique ou d'une orientation riemannienne. Comme$k$et$k^2$ont la même parité, le côté droit dans l'affichage précédent est exactement la différence entre vos deux$m$-formes. En particulier ils sont égaux ssi$\alpha \wedge \gamma$est fermé. L'intégrale sur les deux$m$-formulaires, dites si$M$est orienté et compact, est le même simplement parce que l'intégrale d'une forme exacte est nulle d'après le théorème de Stokes.
Concernant le contre-exemple de @ DIdier_ pour la question 4 : Il s'agit d'une situation où l'intégrale de frontière dans le théorème de Stokes ne s'annule pas (pour tout domaine lisse dans$\mathbb{R}^n$). Ci-dessus, j'évite ce problème en supposant$M$être sans frontières. Une autre issue est de supposer que$\alpha $et$\gamma$avoir un support compact à l'intérieur.