Dérivation de la formule Breit-Wigner
J'ai passé en revue cette dérivation de la formule de Breit-Wigner pour la résonance en physique des particules, mais je ne peux pas concilier les étapes avec ma connaissance de la QM.
L'état initial est donné par:
$$ \psi(t)=\psi(t=0)e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}}$$
Voici ma première question:
- La dépendance à la position est-elle négligée? Si oui, pourquoi?
Ensuite, il est dit
$$\textrm{Prob}(\textrm{ find state } |\psi\rangle)\propto e^{-\frac{t}{\tau}} $$
- Trouver l'état $|\psi\rangle$où? Au moment$t$? Qu'est-ce que ça veut dire?
Nous pouvons maintenant convertir cela dans le domaine énergétique en transformant ce $\psi(t)$:
$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt}$$
et nous obtenons
$$f(E)= \dfrac{i\psi(0)}{(E_0-E)-\frac{i}{2\tau}}$$
- Pourquoi s'agit-il d'une transformée de Fourier si la plage commence à $0$ et pas à $-\infty$?
- Pourquoi est-ce valable? Je suis habitué à la conversion de la position en espace momentum, mais l'énergie-temps est quelque chose que je n'ai jamais fait en QM.
- De plus, quels sont les états propres du temps? Pour la position et l'élan que nous avons$|x\rangle$ et $|p\rangle$, mais pour le temps?
La procédure se poursuit et affirme que la probabilité de trouver l'état $|\psi\rangle$ avec énergie $E$ est donné par
$$|f(E)|^2=\dfrac{|\psi(0)|^2}{(E_0-E)^2+\frac{1}{4\tau^2}} $$
- Ne devrait-il pas être $|f(E)|^2\textrm{d}E$?
Réponses
Je crains que l'un d'entre eux ne soit le shadow boxing avec votre texte non divulgué. Tous les bons textes QM couvrent cela, mais on ne sait pas ce que vous contestez. L'état est$$ \psi(t)=\psi(0)~e^{-iE_0t}e^{-\frac{t}{2\tau}},$$ donc la probabilité qu'il ne se soit pas désintégré diminue de façon monotone, $$ |\psi(t)|^2 / |\psi(0)|^2 = e^{-t/\tau}, $$la loi de décroissance exponentielle standard. Pourrait se multiplier avec le nombre de ces particules pour obtenir une probabilité de survie globale, par exemple d'un morceau de matière radioactive.
(1,2) Toute dépendance d'espace concevable a été intégrée, car elle n'est pas pertinente pour la désintégration. L'état pourrait être n'importe où et partout dans l'espace, et sa décomposition ne serait pas affectée par des considérations spatiales - pensez à faire toutes les intégrales spatiales à l'avance. Le carré de la fonction d'onde est donc une probabilité d'existence, dans l'univers entier, de cet état, et non une densité spatiale de probabilité. Notez que l'état est un état propre hamiltonien, mais la valeur propre n'est pas réelle,$E_0-i/2\tau$, parce que l'hamiltonien n'est pas hermitien. La probabilité de l'existence de l'état en tant que fraction d'une probabilité initiale de 1, lorsque vous commencez à mesurer le temps, diminue ainsi jusqu'à 0 à un temps infini.
(3) Votre plage horaire est alors [0,$\infty$), et c'est ce que vous intégrez, donc vous ne faites qu'une demi-transformée de Fourier, car la transformée de Fourier complète vous ramènerait à une valeur infinie (duh!), et vous souhaitez uniquement surveiller la probabilité de survie par rapport à un départ temps 0.
(4) Valide? c'est une opération formelle:$$f(E)=\int_0^\infty \textrm{d}t\,\psi(t)e^{iEt} = \dfrac{i\psi(0)}{(E-E_0)+\frac{i}{2\tau}} ~,$$vous donnant une décomposition spectrale de votre état, et est utile dans les applications non divulguées de votre texte. C'est essentiellement le propagateur de l' état instable en question, fournissant l'amplitude de la désintégration.
(6) En effet, normalement $|f(E)|^2$correspondrait à une densité de probabilité dans E , une distribution de Lorentzian ou de Cauchy , dont le FT (complet), comme vous le voyez, vous donne un$\propto e^{-|t|/\tau}$, dont vous avez utilisé la moitié ici.
(5) est obscur ... Le temps est un paramètre.