Déterminez si$f(x)=x^2$est uniformément continue dans le domaine donné.

Question

Déterminez si la fonction suivante est uniformément continue dans le domaine donné.

$f(x)=x^2 , \quad \text{in}\quad [0,\infty], [0,1]$

Mon essai :

Pour le domaine$[0,\infty]$. Laisser$(x_n)=n, (y_n)= n +\frac{1}{2n}$

Alors$|n-n-\frac{1}{2n}|=\frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Mais,$|(n)^2-(n+\frac{1}{2})^2| = 1 + \frac{1}{(2n)^2} \geq 1 = \epsilon _0$

Alors$f(x)=x²$n'est pas uniformément continue dans le domaine$[0,\infty]$

Pour le domaine$[0,1]$. Laisser$(x_n)=\frac{1+n}{n}, (y_n)= \frac{1+2n}{2n}$

Alors$|\frac{1+n}{n}-\frac{1+2n}{2n}| = \frac{1}{2n} < \frac{1}{n}$

Mais,$|(\frac{1+n}{n})^2-(\frac{1+2n}{2n})^2|=\frac{1}{n} + \frac{3}{4n^2} \geq 1 = \epsilon _0$

Alors$f(x)=x²$n'est pas uniformément continue dans le domaine$[0,1]$

Je ne sais pas si ma méthode est correcte. Toute suggestion sera appréciée!

Answer 1

Une autre façon de voir que la fonction est uniformément continue sur$[0,1]$sans utiliser le théorème de Heine est de prouver que la définition de la continuité uniforme est satisfaite.

En effet, laissez$\varepsilon > 0$. Laisser$\eta = \varepsilon/2$. Pour tous$x,y \in [0,1]$tel que$|x-y|<\eta$, vous avez$$|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| \leq 2\eta = \varepsilon$$

La définition est donc satisfaite.

Answer 2

Votre méthode pour le domaine$[0,\infty)$est correct, et votre résultat est également correct. Mais pour le domaine$[0,1]$, ça ne marche pas, puisque tu as choisi$x_n,y_n$ne sont pas dans le domaine. Au lieu de cela, vous pouvez utiliser le fait que les fonctions continues sur des domaines compacts sont uniformément continues.

Answer 3

Elle est certainement uniformément continue sur$[0,1]$. En général, une fonction continue sera toujours uniformément continue sur un ensemble compact (comme @Bungo l'a souligné dans les commentaires).

Pour répondre à la question dans les commentaires :

Par exemple, pour tout$\varepsilon$, si l'on prend juste$\delta=\frac{100}{4 \times 99} \varepsilon$, Nous avons$$f\left(x+ \frac{99}{100} \delta\right) - f(x) \\ = f(x + \varepsilon/4) - f(x) \\ = x^2 + x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 - x^2 \\ = x\varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon^2/16 \\ \leq \varepsilon/2 + \varepsilon/16 \\ < \varepsilon$$

La réponse de PS @TheSilverDoe est beaucoup plus propre, donc je vérifierais celle-là :)