Échantillonnage indépendant de variables aléatoires dépendantes

Question

Laisser $x_1, \ldots, x_n$être éventuellement des variables aléatoires dépendantes , chacune prenant des valeurs$x_i \in \{0, 1, 2\}$. Supposons en outre que dans chaque résultat, le nombre de variables aléatoires égal à 2 soit exactement 1. Maintenant pour chaque$i \in \{1, \ldots, n\}$ définir $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ et pour chacun $i \in \{1, \ldots, n\}$ laisser $y_i$ être une variable aléatoire de Bernoulli qui vaut 1 indépendamment avec probabilité $f_i$ et 0 sinon.

La conjecture suivante est-elle correcte ou y a-t-il une distribution sur $x_i$le réfute?

Conjecture: il y a un$\epsilon > 0$ (c'est à dire $\epsilon$ être indépendant de $n$) tel qu'avec une probabilité d'au moins $\epsilon$, il y a exactement un index $i$ où $y_i = 1$.

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Answer 1

La réponse est «non» (si je comprends bien la question).

Considérez la distribution conjointe échangeable suivante du $x_i$s. En cas$A$, qui se produisent avec probabiluty $1/\sqrt n$, tous les $x_i$s valent 1, sauf un 2. Dans l'événement du complément $B$, tous les $x_i$s valent 0 sauf pour un 2.

Dans le cadre de cette distribution, $f_i$ vaut 0 ou $1/\sqrt n$. Laisser$Y=\sum y_i$. Depuis$E[ Y|A]=\sqrt n$, et $E[Y|B]=1/\sqrt n$, dans les deux cas, il est trop éloigné de 1; donc la probabilité qu'il y ait exactement un positif$b_i$ disparaît.