Échappez-vous de l'avion
Un dimanche matin, vous vous réveillez pour vous retrouver complètement seul sur un plan infini et plat. Vous ne vous souvenez pas de grand-chose de la nuit précédente, à part que vous avez peut -être énervé un sorcier. A côté de vous, vous trouvez une palette aux couleurs dénombrables infinies, et une note, vous ordonnant ainsi :
Vous devez peindre chaque point de ce plan, de sorte que je ne pourrai jamais trouver un triangle avec des sommets de la même couleur et de la même aire rationnelle.
Si vous pouvez gérer cette tâche, l'assistant vous laissera libre - échouez et vous serez piégé pour toujours. Vous ne doutez pas des capacités du sorcier, donc pas de trucs bon marché ici. Considérant le problème, vous vous mettez au travail - et un temps incalculable plus tard, le sorcier se tient à côté de vous, admirant votre travail.
L'assistant vous libère-t-il ?
EDIT : Pour éliminer les réponses de pensée latérale basées sur le cadrage de la question, voici une déclaration mathématique formelle du puzzle :
Existe-t-il une coloration de$\mathbb{R}^2$tel qu'il est impossible de trouver un triangle avec des sommets de même couleur et de même aire rationnelle ?
Réponses
Supertâche très intéressante.
Dans un plan 2D, trois points non colinéaires forment un triangle, n'utilisez donc que 2 points de chaque couleur. Parce que vous avez des couleurs infinies, vous ne manquerez jamais de couleurs. Cependant, cela ne nous sauve pas de notre disparition, car cette tâche prendrait un temps incalculable, nous laissant coincés dans l'avion. Nous devons donc aborder cela comme une super tâche. Peignez le premier point en 1 minute, peignez le deuxième point en deux fois moins de temps, peignez le troisième en deux fois moins de temps que le second, etc. En seulement deux minutes, et aussi longtemps que l'assistant aura besoin de vérifier, vous serez libéré avion!
Éditer:
La solution ci-dessus se heurte au problème que vous manquez de couleurs car il y a un nombre incalculable de points sur$\mathbb{R}^2$et il y a un nombre dénombrable infini de couleurs. Je peux m'en rapprocher un peu en augmentant mon nombre de couleurs. Au lieu de penser aux couleurs comme les taches de peinture discrètes que l'assistant m'a données, je vais maintenant considérer la longueur d'onde de la lumière que le pigment reflète (sans tenir compte du fonctionnement du mélange de peinture ici). Maintenant, à chaque étape de la super tâche, mélangez les peintures de manière à obtenir une nouvelle couleur (par exemple, à l'étape 1, vous utilisez de la peinture avec$700nm$, à l'étape 2, vous utilisez de la peinture avec$700.\bar01nm$, etc.). Vous disposez maintenant d'un nombre incalculable de couleurs de peinture. Cependant, j'ai l'impression que le plan est plein de points infinis en 2 dimensions$\mathbb{R}^2$, alors que je n'ai que des peintures avec$\mathbb{R}>0$, donc je n'ai toujours pas assez de couleurs.
C'est surement simple
Vous avez une infinité de couleurs donc vous n'utilisez chaque couleur qu'une seule fois. Vous n'avez pas précisé si les 'points' sont de vrais points. S'il s'agit de vrais points sur un plan, ils n'ont aucune dimension, vous ne pouvez donc pas les peindre. Pas même 1 molécule de peinture ne peut être utilisée.
ou
Si vous pouvez gérer cette tâche, l'assistant vous laissera libre - échouez et vous serez piégé pour toujours.
Étant donné que la tâche prendra une éternité, vous êtes piégé pour toujours en train de faire la tâche, non l'assistant ne vous libérera pas.
ou
Vous peignez des lignes droites unicolores parallèles infiniment longues. Il n'y aura pas de triangles ayant trois sommets de la même couleur.