Énergie supplémentaire dans les systèmes à double masse-ressort
Ci-dessous se trouve un système de ressort à double masse placé sur une surface lisse (sans frottement), supposons que la constante du ressort soit$k$dans ce cas.
Maintenant, si nous créons une petite extension au printemps de la valeur$x_o$, les deux masses effectueront un mouvement harmonique simple (SHM) individuellement avec des amplitudes$A_1$et$A_2$respectivement tels que$A_1$+$A_2$=$x_o$. Maintenant, l'énergie totale dudit système est donnée par$\frac{1}{2}kx_o^2$et les énergies de leurs oscillations individuelles seraient$\frac{1}{2}kA_1^2$et$\frac{1}{2}kA_2^2$. Mais$\frac{1}{2}kA_1^2$+$\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$. Alors, à quoi sert cette énergie supplémentaire ? De toute évidence, il n'est pas utilisé pour SHM car il ne relève pas de l'énergie des oscillations individuelles des masses. Je ne peux donc pas dire à quoi il sert !
J'ai aussi une autre question. Leurs énergies cinétiques maximales individuelles sont liées comme suit :$\frac{1}{2}mv_1^2$+$\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$, où$v_1$et$v_2$sont les vitesses maximales des masses individuelles. Mais l'énergie cinétique maximale d'un corps exécutant SHM devrait être égale à son énergie potentielle maximale ! Alors$\frac{1}{2}kA_1^2$devrait être égal à$\frac{1}{2}mv_1^2$et de même$\frac{1}{2}kA_2^2$devrait être égal à$\frac{1}{2}Mv_2^2$. Mais cela irait à l'encontre de notre équation qui$\frac{1}{2}kA_1^2$+$\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$! Je suis donc assez confus sur ce qui se passe ici!
Alors quelqu'un peut-il m'expliquer cela?
Réponses
Vous devez analyser les deux masses ensemble comme un seul système SHM - vous ne pouvez pas les diviser en deux composants SHM indépendants.
Supposons que nous commencions avec le ressort à sa longueur naturelle et déplacions la masse$m$à gauche de loin$x_1$et masse$M$à droite de loin$x_2$. La force que le ressort exerce sur les deux masses est maintenant$k(x_1+x_2)$. Donc, si nous déplaçons la masse$m$de$x_1=0$à$x_1=A_1$et nous déplaçons la masse$M$de$x_2=0$à$x_2=A_2$alors l'énergie totale emmagasinée dans le ressort est
$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$
où$y=x_1+x_2$, et
$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$
il n'y a donc pas "d'énergie supplémentaire".
Lorsque nous relâchons les masses, l'équation du mouvement de la masse$m$est
$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
et pour la masse$M$c'est
$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
En les additionnant on obtient
$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$
où$k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, et$y(0) = x_0$,$\frac{dy}{dt}(0) = 0$. Alors
$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
De la même manière
$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
Lorsque le ressort reprend sa longueur naturelle,$y=0$et$\cos \sqrt{k'}t = 0$alors$\sin \sqrt{k'}t = 1$. L'énergie cinétique du système est donc
$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$
En d'autres termes, toute l'énergie potentielle stockée dans le ressort a été convertie en énergie cinétique, comme prévu.
Laisser$x$être l'amplitude du déplacement maximal à partir de sa position d'équilibre de masse$m$et$X$être l'amplitude du déplacement maximal à partir de sa position d'équilibre de masse$M$.
La conservation de la quantité de mouvement pour le système nécessite$m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$.
Pour ce système, la fréquence propre d'oscillation est donnée par$\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$.
L'énergie cinétique maximale du système est$\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$.
Mettre la valeur de$\omega^2$et la multiplication donne l'énergie cinétique comme
$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$.
Il est possible de faire une analyse plus générale pour montrer que l'énergie totale du système est constante.