Est $C^{*}$-algèbre la manière la plus moderne d'étudier QFT?

Question

Je ne suis pas un expert sur QFT ou $C^{*}$-algebras, mais j'essaye d'apprendre les bases de QFT. Dans tous les livres / articles et autres matériaux que je connais, QFT est étudié principalement en utilisant beaucoup d'analyse fonctionnelle et de théorie de la distribution, mais je sais que certaines constructions algébriques sont également utilisées, et dans ce contexte$C^{*}$-les algèbres semblent être l'outil le plus moderne. Alors, que devrait savoir un étudiant inexpérimenté comme moi sur ces approches du QFT et de la mécanique statistique? Quel est le rôle de$C^{*}$-algèbres et autres méthodes algébriques dans ces théories? Quels sont les problèmes qui conviennent le mieux? Si je souhaite étudier QFT, dois-je apprendre$C^{*}$-algèbre? Y a-t-il des problèmes dans lesquels les méthodes algébriques ne correspondent pas bien? Y a-t-il des problèmes dans lesquels l'une ou l'autre approche est fructueuse? Que perd-on à ne pas connaître ces constructions algébriques?

AJOUTER: Je travaille avec une mécanique statistique rigoureuse mais j'essaie d'apprendre un peu de QFT parce que ... eh bien, ce sont deux domaines liés à un certain niveau. Cependant, je ne sais pas encore quoi ou combien j'ai besoin d'apprendre sur QFT. J'ai une formation en analyse fonctionnelle et en théorie de la distribution, mais pas en$C^{*}$-algèbre. En tant qu'étudiant inexpérimenté, il sera très utile d'avoir une image générale, c'est-à-dire quels sont les problèmes que l'on essaie de résoudre en QFT et où chacune de ces approches entre en jeu. Je pense que chacun de ces outils est applicable à différents types de problèmes ou même à différents sous-domaines de la théorie, mais je ne sais pas avec certitude.

Answer 1

Mon travail de doctorat a utilisé assez fortement les algèbres C *, donc je suppose que je peux revendiquer une certaine expertise là-bas, mais je ne suis pas un expert en QFT. Ce sera la perspective principale de ma réponse.

Un bon point de départ pour cette discussion est le théorème de Stone-von Neumann, un résultat fondamental dans les algèbres d'opérateurs et la mécanique quantique. La configuration est essentiellement le principe d'incertitude de Heisenberg, qui affirme que les opérations de mesure de la position$x$ et l'élan $p$ d'un système quantique ne commute pas:

$$[x,p] = 2\pi i h$$

Une question mathématique importante sur la mécanique quantique dans ses débuts était: quel type d'objets sont$x$ et $p$? Les physiciens veulent qu'ils soient des opérateurs auto-adjoints sur certains espaces de Hilbert, mais vous pouvez prouver rigoureusement qu'aucune paire d'opérateurs bornés ne possède cette propriété. Ce résultat appartient à la théorie des représentations des algèbres de Lie - essentiellement, l'algèbre de Lie avec deux générateurs et la relation ci-dessus n'a pas de représentation par des opérateurs auto-adjoints bornés sur l'espace de Hilbert.

L'idée de Stone et von Neumann était de se concentrer sur le groupe de Lie plutôt que sur l'algèbre de Lie; la relation ci-dessus est la dérivée en 0 de la relation suivante entre les opérateurs d'évolution temporelle$U(t)$ et $V(s)$:

$$U(t) V(s) = e^{-ist} V(s) U(t)$$

Le groupe de Lie généré par un tel $U$ et $V$est appelé le groupe de Heisenberg , et le théorème de Stone-von-Neumann affirme que ce groupe a une représentation unitaire unique sur l'espace de Hilbert, jusqu'à l'équivalence unitaire (et quelques adjectifs que je n'entrerai pas ici). Cela fournit une bonne base pour la mécanique quantique de base qui unifie les images de Heisenberg et Schrodinger de la théorie en un seul ensemble d'axiomes.

Pour gérer des systèmes quantiques plus compliqués, nous devons généraliser à plus d'opérateurs satisfaisant des relations peut-être plus compliquées. Voici comment fonctionne cette généralisation:

• Commencez avec un groupe localement compact $G$; pour le théorème original de Stone-von-Neumann,$G = \mathbb{R}$.
• La transformée de Fourier détermine et isomorphisme $C^*(G) \to C_0(\hat{G})$, où $C^*(G)$ est l'algèbre du groupe C * et $\hat{G}$ est le double Pontryagin.
• Un tel isomorphisme équivaut à une représentation unitaire de l'algèbre des produits croisés $C_0(G) \rtimes G$.
• Toutes les irreps de cette algèbre C * sont unitairement équivalentes.

Nous avons donc maintenant la mécanique quantique pour les systèmes avec de nombreuses particules. Mais qu'en est-il de QFT? La raison fondamentale pour laquelle QFT est difficile, si je comprends bien, est que le théorème de Stone-von-Neumann n'est plus vrai.

Pour la mécanique quantique ordinaire, les espaces de phase classiques sont des variétés de dimension finie - par exemple, l'espace de phase classique d'une seule particule volant dans $\mathbb{R}^3$ est $\mathbb{R}^6$. L'analogue classique de l'espace des phases dans la théorie quantique des champs, cependant, est l'espace des chemins dans$\mathbb{R}^3$, qui est une sorte de variété dimensionnelle infinie. Cela signifie une infinité d'opérateurs avec une infinité de relations de commutation, et les groupes de Lie de dimension infinie correspondants, dans la mesure où ils existent même, ont une théorie de représentation beaucoup plus compliquée.

Alors maintenant, je peux essayer de répondre à votre question. Les algèbres d'opérateurs ont été plus ou moins inventées afin de fournir un beau modèle pour la mécanique quantique. La belle propriété de ce modèle - à savoir qu'il n'y en a qu'une seule réalisation jusqu'à l'équivalence unitaire - n'est plus vraie dans QFT. Un objectif (implicite) de beaucoup de travail dans QFT est donc de faire face à cette situation et de rechercher de meilleures bases. Je n'ai aucune idée si les algèbres C * sont la meilleure ou la plus moderne façon de penser à QFT - probablement pas - mais un bon point de départ pour un étudiant est d'apprendre le théorème de Stone-von-Neumann dans une certaine généralité raisonnable puisque nous pouvons blâmer beaucoup la difficulté de QFT sur son absence.

Answer 2

Encore une fois, une réponse provisoire d'un non-expert: probablement quelqu'un qui est un vrai maître Jedi en physique mathématique / algèbres d'opérateurs interviendra.

En QM classique, on part d'un espace de Hilbert d'états $H$, et construit à partir de là en examinant des types particuliers d'opérateurs agissant sur $H$(unitaire pour simmetries, et hermitiens pour observables). Donc, dans un sens, les algèbres d'opérateurs sont là depuis le début, bien que dans le QM classique, il semble et se sent comme si les entités de base sont des états (quantiques), et les secondaires sont des processus (opérateurs).

Mais je pense qu'il est juste de dire que le mouvement a été vers l'inversion de l'ordre, en un sens commençant par l'algèbre des opérateurs abstraits, puis modélisant l'ensemble des états en utilisant la tristement célèbre dualité de Gelfand. Ce que je viens d'esquisser est une discussion de supermarché sur la théorie algébrique quantique des champs (vous pouvez trouver un condensat ici ).

Vous vous demandez peut-être pourquoi: je ne suis pas sûr, mais il me semble que le mouvement vers les processus par opposition aux États a du sens

1. mathématiquement (par exemple, il se connecte avec la géométrie non commutative de Connes, où l'on travaille directement sur des algèbres non commutatives comme si elles étaient les algèbres de fonctions sur un espace fantôme non commutatif). Les algèbres sont assez bonnes pour capturer la topologie et la géométrie de l'espace fantôme, et se prêtent également à des machines plus abstraites
2. physiquement. Il y a une prise de conscience croissante que QM / QFT concerne des processus / interactions, plutôt qu'un monde dans lequel les systèmes existent par eux-mêmes. Voir par exemple l' interprétation relationnelle de Rovelli , pour ne citer qu'une seule option.

ADDENDA: alors, les algèbres C * sont-elles le plus récent outil pour QFT? La réponse est: à quel QFT pensez-vous? Par exemple, dans Quantum Gravity, la réponse est définitivement non. Là, les gens jouent avec toutes sortes de goodies, allant de la théorie des catégories supérieures à la géométrie non commutative déjà mentionnée, à ... à peu près tout sous le soleil, et même un peu plus.