Est-il vrai que $ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} $ [dupliquer]

Question

Laisser $ f $ être une fonction telle que $ f'' $ existe à $ x=0 $.

Est-il vrai que :

$$ \lim_{x\to0}\frac{f'\left(x\right)-\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x}}{x}=\frac{f''\left(0\right)}{2} ~~?$$

Je suis presque sûr que pour que cela soit vrai, $ f'' $devrait être continue, ce qui n'est pas donné. Mais j'ai du mal à trouver un contre-exemple. J'ai besoin de trouver une fonction qui soit deux fois différentiable, mais$ f'' $ n'est pas continue (en supposant que j'ai compris la situation).

J'apprécierais de l'aide. Merci d'avance.

Answer 1

Vous pouvez utiliser une extension Taylor: $$ f(x)=f(0)+xf'(0)+x^2f''(0)/2+x^2\sigma(x) $$ où $\lim_{x\to0}\sigma(x)=0$. ensuite\begin{align} \frac{1}{x}\Bigl(f'(x)-\frac{f(x)-f(0)}{x}\Bigr) &= \frac{1}{x^2}\Bigl(xf'(x)-xf'(0)-x^2f''(0)/2-x^2\sigma(x)\Bigr)\\[6px] &=-\frac{f''(0)}{2}-\sigma(x)+\frac{f'(x)-f'(0)}{x} \end{align}La continuité de la deuxième dérivée n'est pas nécessaire; il suffit que le (premier) dérivé existe dans un voisinage de$0$ et est différenciable à $0$.

Answer 2

Depuis

$${f'(x)-{f(x)-f(0)\over x}\over x}={f'(x)-f'(0)\over x}-{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}$$

et

$$\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over x}=f''(0)$$

il suffit de montrer que

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}={f''0)\over2}$$

Cela peut être fait avec une seule application de L'Hopital:

$$\lim_{x\to0}{f(x)-f(0)-xf'(0)\over x^2}=\lim_{x\to0}{f'(x)-f'(0)\over2x}={f''0)\over2}$$

(La dernière étape n'est pas un autre cycle de L'Hopital, c'est la définition de la dérivée seconde. La seule condition que L'Hopital exige ici est que la dérivée première soit définie dans un voisinage de $0$, qui doit être satisfait pour $f''(0)$ exister.)