Est$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$isomorphe à$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ou$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

Question

Est$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1)$isomorphe à$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$ou$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2)$?

je pense$\mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 2x + 1) \not\cong \mathbb{F}_{3} [x] / (x^{2} + 1)$car le premier n'est pas un champ puisque ($x^{2} + 2x + 1$) est réductible, mais ce dernier est un corps puisque$(x^{2}+1)$est irréductible. Est-ce correct?

Je ne suis pas sûr pour la deuxième sonnerie.

Answer 1

Oui, vous avez raison pour le premier. Une façon de montrer que aussi$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1) \ncong \mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$est de noter que$(x+1)^2 = 0$dans$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2x+1)$tandis que le carré de tout élément non nul de$\mathbb{F}_3[x]/(x^2+2)$est non nul, ils ne peuvent donc pas être isomorphes.