Est $x$ un élément algébrique sur le champ des fonctions rationnelles $K(x)^p$?

Question

La question est $x \in K(x)$ un élément algébrique sur le terrain $K(x)^p$?

Edit: Let $K$ être un champ avec char ($K)=p>0$ et laissez $K(x)$ être le champ des fonctions rationnelles sur $K$.

Ma tentative: j'ai essentiellement essayé de répondre en faisant référence à:

Champ $K (x)$ des fonctions rationnelles sur $K$, l'élément $x$ n'a pas $p$ème racine.

Supposons au contraire que $x$ est algébrique sur $K(x)^p$, et donc $x$ est la racine de certains $p$polynôme -degré tel que; $(\frac{f(x)}{g(x)})^p -x = 0$

$f(x)^p=g(x)^p * x$

On voit ici la contradiction puisque les degrés de $f(x)^p= deg(f(x)*p)$ et $g(x)^p*x = \deg(g(x)*p+1)$.

Je suis totalement perdu là-dessus, j'ai utilisé la 4e édition de Abstract Algebra de Beachy et il n'y a pratiquement aucune mention du domaine des rationnels. Tous les conseils et peut-être suggestions sur les ressources où je peux en savoir plus sur le domaine des rationnels seraient grandement appréciés, merci!

Answer 1

$x$ est en fait algébrique sur $K(x)^p$ (notez les commentaires sur la question, nous n'avons besoin que de $x^p\in K(x)^p$. Je pense que cela peut vous dérouter dans quel anneau nous essayons de trouver des polynômes qui ont$x$en tant que racine. Pour contourner ce problème de notation, appelons$F:=K(x)^p$.

Maintenant $x$ est algébrique sur $F$ s'il y a un polynôme $g\in F[Y]$ st $g(x)=0$. Regardons le polynôme$g=Y^p-x^p$. Nous savons que$x^p\in F$, donc $g\in F[Y]$. Clairement aussi$g(x)=x^p-x^p=0$, donc $x$ est algébrique sur $F$.

Answer 2

Je suppose que tu veux dire $K$ avoir caractéristique $p>0$. Peut-être que vous êtes surpris par la possibilité que$K$ n'est pas parfait, auquel cas $\bigl(K(x)\bigr)^p$ est différent de $K(x^p)$. Mais ne vous inquiétez pas: pour nos besoins, cela n'a pas d'importance.

Considérons votre domaine $\mathscr L=\bigl(K(x)\bigr)^p$, dans lequel il y a un élément $x^p$. J'appellerai cet élément$t$. On note qu'il y a un isomorphisme de champ$\varphi:K(x)\to\mathscr L$, par $\varphi(f)=f^p$. Et l'image de l'élément$x$ de $K(x)$ est $t\in\mathscr L$; tout comme$x$ n'a pas $p$-th racine dans $K(x)$, donc $t$ n'a pas $p$-th racine dans $\mathscr L$. Ainsi, le$\mathscr L$-polynôme $X^p-t$ est irréductible ($\dagger$). Il a une racine en arrière$K(x)$, cependant, à savoir $x$. Et vous y êtes.

($\dagger$) J'ai utilisé le fait que dans un champ $k$ de caractéristique $p$, $X^p-b$ soit a une racine dans $k$ ou est $k$-irréductible.