Étape dans la preuve sur Riemann Sums de Spivak Calculus.
J'étais en train de préparer une preuve dans Spivak's Calculus (2008) - page 279 . Ce qui suit est une capture d'écran de la partie de la preuve avec laquelle j'ai des problèmes.
Ma question est de travailler sur la combinaison des étapes 1, 2 et 3 correctement. Je veux arriver à
$$\bigg|\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx \bigg| < \epsilon \\ \Rightarrow\ -\epsilon < \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x)dx < \epsilon$$
En tripotant l'équation 2, j'obtiendrais quelque chose de la forme
$$ 0 \leq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \leq U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$
La même chose se produirait pour $\int_{a}^{b}f(x) dx$. Maintenant, en utilisant cette idée, j'obtiens quelque chose de la forme:
$$\epsilon > U(f,P) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - L(f,P) \geq \sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq ?? $$
Voici mon problème, je ne peux pas dire avec certitude que $\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) \geq 0$. Rien de ce que j'ai ne peut impliquer tel et par conséquent, je ne peux pas conclure que$\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) - \int_{a}^{b}f(x) > -\epsilon$. Ce qui me permettrait de terminer cette partie de la preuve. Par expérience, je sais que c'est une chose algébrique mineure qui me manque, mais je suppose que je suis mentalement fatigué et que je ne le vois pas. Une aide serait bien.
Réponses
Astuce : multiplier l'équation$(3)$ par $-1$ et ajouter à l'équation $(2)$ obtenir:
$-(U(f,p) -L(f,P))\leq -\int_{a}^{b}f(x)dx+\sum_{i = 1}^{n}f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1}) \leq U(f,P) - L(f,P) $
En d'autres termes, nous avons $-\epsilon\lt y\lt \epsilon$, d'où $|y|\lt \epsilon$
$(2)$ et $(3)$ impliquent que la somme et l'intégrale sont entre $L(f,P)$ et $U(f,P)$ donc la différence absolue entre eux ne peut pas être plus de $U(f,P)-L(f,P)$ et par $(1)$ cette dernière expression est inférieure à $\epsilon.$