Évaluer l'attente d'une variable aléatoire
Laisser $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ être des vecteurs unitaires et linéairement indépendants et $X_1,...,X_n$ variables aléatoires indépendantes (sur un espace de probabilité spécifique) telles que chaque $X_i$ a une distribution de Bernoulli de paramètre $p_i \in [0,1]$.
a) Laissez $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$, calculez l'attente de $Z$, où $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$ avec $v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $.
b) Soit V =$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$, montrez que pour tout $v \in V$ existe un $y \in V$ tel que $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ et $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$, avec $b_i \in \{0,1\}$. Astuce: en utilisant a).
J'ai trouvé cet exercice en ligne et j'ai du mal à résoudre le point b). J'ai fait le point a) en choisissant$( \mathbb{R}^n, B, P)$ comme espace de probabilité, où B est Borel $\sigma $-algèbre et P est égal à la mesure du produit de $X_i$distributions. J'ai trouvé que l'attente de Z est\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}
Je voudrais savoir si ma solution du point a) est correcte et recevoir quelques conseils pour le point b).
Je vous remercie
Réponses
Je suppose que le point b est le principal problème de l'exercice et il peut être prouvé comme suit.
a)) Soit $y=\sum x_i v_i$, où $x_i=1$ avec probabilité $p_i$ et $x_i=0$ avec probabilité $1- p_i$, indépendamment.
ensuite
$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$
Alors $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$
b)) Choisir $p_i=a_i$ pour chaque $i$, nous obtenons que $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ ce qui implique le point b.