Évaluer la limite du quotient de deux sommes infinies

Question

Comment puis-je évaluer cette limite?

$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$

Par WolframAlpha, la limite doit être de 2 mais comment puis-je montrer cela? Je vois que ça augmente monotone alors quand je pourrais montrer$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$, ce serait fait. Mais je suis un peu coincé ...

Answer 1

notez que le dénominateur peut être réécrit comme $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ Cela devient assez facile après cela: divisez le numérateur et le dénominateur par $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Cela vous donne la limite$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$

Answer 2

La règle de L'Hôpital a une version discrète, sous certaines conditions; il est généralement connu sous le nom de théorème de Stolz-Cesaro . Ici, nous traitons la sommation comme intégration (et inversement, prenant les différences comme différenciation). L'instruction est généralement quelque chose comme ceci: si la séquence$\{ b_n \}$ est positif et $\sum b_n = \infty$ (c'est-à-dire divergente), alors pour toute séquence $\{ a_n \}$ de réels tels que $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, nous avons

$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$

Une conséquence assez cool de ceci est le test de comparaison limite.

Pour l'exemple donné, prenez $a_n = 1/n$ et $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ obtenir $2$ comme limite.

Answer 3

Explication intuitive:

Le ratio est

$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ et pour grandir $k$, le terme $\frac12$devient de moins en moins significatif. En même temps, les deux séries divergent, de sorte que les termes initiaux n'ont pas d'importance.

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Par un argument plus sérieux, vous pourriez mettre entre parenthèses les sommes par intégration et obtenir des bornes de la forme $\log n+c$. Puis en serrant

$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$

Answer 4

En comparant terme par terme, nous avons $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ De même, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ Donc, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ et donc, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ Maintenant, appliquez le théorème de compression.