Explication conceptuelle du signe devant certaines opérations binaires
Dans plusieurs situations, j'ai vu cela étant donné une opération binaire sur un module noté $m:A\otimes A\to A$, une nouvelle opération $M(x,y)=(-1)^{|x|}m(x,y)$ est défini de manière à satisfaire certaines propriétés.
Un exemple de ceci se produit dans les G-algèbres d'homotopie et les espaces de modules , où pour une opération binaire$m\in\mathcal{O}(2)$ tel que $m\circ m=0$ pour certains opérades $\mathcal{O}$, un produit associatif est défini par $xy=(-1)^{|x|+1}m\{x,y\}$, où la notation d'accolade représente la structure d'algèbre d'accolade sur $\mathcal{O}$. Dans ce cas, l'explication que j'ai pu déduire est que cela est nécessaire pour que la relation d'accolade (équation (2) dans l'article) implique l'associativité du produit$xy$. Dans ce cas, le signe$(-1)^{|x|}$ fonctionne aussi dans ce but.
Un autre exemple plus direct de cette situation se produit dans les formules d'homotopie de Cartan et la connexion Gauss-manienne en homologie cyclique , où un$A_\infty$-algèbre avec $m_i=0$ pour $i>2$, on obtient une dg-algèbre en redéfinissant $xy=(-1)^{|x|}m_2(x,y)$. Dans ce cas, c'est parce que l'auteur utilise une convention pour$A_\infty$-algèbres dans lesquels les équations n'ont que des signes plus, donc un signe supplémentaire est nécessaire pour produire la relation d'associativité et la règle de Leibniz. Les raisons sont donc très similaires au cas précédent même si la construction est plus simple car il n'y a pas d'algèbre d'accolades ici.
Et un autre exemple supplémentaire pour lequel je n'ai aucune référence est le cas des algèbres de Lie. Quand on définit un générateur de l'opérade d'algèbres de Lie graduées, on prend souvent$l(x,y)=(-1)^{|x|}[x,y]$ au lieu de définir directement $l$comme support. Si je me souviens bien, cela était nécessaire pour obtenir l'identité de Jacobi en termes purement opéradiques.
Il semble donc qu'il soit très courant d'ajouter ce signe pour que certaines relations tiennent. Ce que je voudrais savoir s'il y a une explication plus conceptuelle de la raison pour laquelle cela se vérifie systématiquement. C'est peut-être juste que cela fonctionne lors de l'écriture des équations, mais je recherche une intuition plus générale.
Ma motivation est de généraliser cette idée aux cartes d'arité supérieure. Plus précisément, étant donné un$A_\infty$-multiplication $m\in\mathcal{O}$ tel que $m\circ m=0$, Je veux définir un $A_\infty$-structure $M$ sur $\mathcal{O}$ qui satisfait la convention de signe
$$\sum_{n=r+s+t}(-1)^{rs+t}M_{r+1+t}(1^{\otimes r}\otimes M_s\otimes 1^{\otimes t})=0.$$
(Il existe également une autre convention possible où $rs+t$ est remplacé par $r+st$)
C'est donc très similaire à l'article de Getzler où il définit $M_j(x_1,\dots, x_j)=m\{x_1,\dots x_j\}$, et ces cartes de structure satisfont la relation $M\circ M=0$mais avec tous les signes positifs. J'ai donc besoin de modifier ces cartes par certains signes de la même manière que le cas associatif. Bien sûr, je peux essayer de m'asseoir et d'écrire les équations et de trouver certaines conditions nécessaires pour les signes et peut-être trouver un modèle. Mais s'il y a une explication conceptuelle pour le cas associatif et les algèbres de mensonge, alors il y a peut-être un moyen plus simple de découvrir quels sont les signes dont j'ai besoin.
Réponses
Je trouve la question assez intéressante (en ce sens que des questions similaires liées à des facteurs de signe apparaissant dans diverses structures algébriques différentes sans raison apparente, font l'objet de mes études depuis un certain temps dans le passé ..)
Bien que je ne sois pas vraiment familier avec la plupart de vos exemples, puisque vous mentionnez également les algèbres associatives et de Lie, je ferai référence à un "phénomène" similaire à partir d'algèbres graduées: Cela a à voir $\mathbb{Z}_2$-produit tensoriel gradué, entre deux superalgèbres associatifs ($\mathbb{Z}_2$-algèbres graduées) $A$ et $B$. Si$b$, $c$ sont des éléments homogènes de $B$ et $A$respectivement, alors l' algèbre de produit dite super tensorielle ou$\mathbb{Z}_2$- l'algèbre du produit tensoriel gradué , des superalgèbres, est la superalgèbre$A\underline{\otimes} B$, dont la multiplication est donnée par $$ (a \otimes b)(c \otimes d) = (-1)^{|b| \cdot |c|}ac \otimes bd $$ avec $|b|, |c|\in\mathbb{Z}_2$. Ici le facteur signe , reflète le tressage de la catégorie monoïdale des représentations de l'algèbre de hopf de groupe$\mathbb{CZ}_2$: Rappelez-vous que les superalgèbres peuvent être considérées comme des algèbres dans la catégorie monoïdale tressée ${}_{\mathbb{CZ}_{2}}\mathcal{M}$ (c'est-à-dire la catégorie de $\mathbb{CZ}_{2}$-modules) et que la multiplication ci-dessus peut s'écrire de manière abstraite: $$ m_{A\underline{\otimes} B}=(m_{A} \otimes m_{B})(Id \otimes \psi_{B,A} \otimes Id): A \otimes B \otimes A \otimes B \longrightarrow A \otimes B $$Ici, le tressage est donné par la famille des isomorphismes naturels$\psi_{V,W}: V\otimes W \cong W\otimes V$ écrit explicitement: $$ \psi_{V,W}(v\otimes w)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v $$ où $V$, $W$ sont deux $\mathbb{CZ}_2$modules.
De plus, ce tressage est induit par la structure quasitriangulaire non triviale de l'algèbre de Hopf$\mathbb{CZ}_{2}$, donnée par le $R$-matrix : \ begin {équation} R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} = \ sum R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(1)} \ otimes R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(2)} = \ frac {1} {2} (1 \ otimes 1 + 1 \ otimes g + g \ otimes 1 - g \ otimes g) \ end {équation} par la relation:$\psi_{V,W}(v \otimes w) = \sum (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(2)} \cdot w) \otimes (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(1)} \cdot v)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v$.
Pour encore un autre point de vue, le mentionné ci-dessus$R$-matrix peut être considérée comme "générée" par le bicaractère correspondant (ou: facteur de commutation) du$\mathbb{Z}_2$groupe.
Il y a des bijections entre$R$-matrices, tressages et bicaractères (qui sont ici en fait des facteurs de commutation) dans le réglage tressé et gradué pour assoc ou Lie tressé ("coloré" est un autre nom), des algèbres graduées.
Tous ces éléments peuvent être généralisés pour les algèbres graduées, les dégradés et les tressages, ou $R$-matrices, ou bicaractères des groupes correspondants, pour tout groupe abélien fini. Aussi pour$\mathbb{G}$-évalué, $\theta$-superalgèbres de Lie de couleur, pour produire des bicaractères plus compliqués $\theta:\mathbb{G}\times\mathbb{G}\to k$ (qui dans l'exemple ci-dessus où $\mathbb{G}=\mathbb{Z}_2$ est exactement le facteur de signe du $\mathbb{Z}_2$ groupe abélien).
Pour conclure: les facteurs de signe sont ici une apparence "implicite" des bicaractères du groupe correspondant. Et ils peuvent également être considérés comme des tressages de la catégorie de représentations correspondante ou comme$R$-matrices pour les algèbres hopf du groupe quaitriangulaire correspondant (du groupe fin, abélien, gradation).
Si ces exemples vous intéressent et que vous les jugez pertinents par rapport à votre question, vous pouvez également consulter la description de cette réponse: https://mathoverflow.net/a/261466/85967 et mon article lié là-dedans.
Comme l'a fait remarquer Gabriel C. Drummond-Co, il s'agit de suspensions implicites. Je vais le faire avec l'exemple de Gerstenhaber et Voronov et les autres devraient suivre de la même manière. Notons$M_2(x,y)=x\cdot y$ le produit que nous voulons définir en fonction de l'accolade $m\{x,y\}$. Si nous la définissons comme une carte$(s\mathcal{O})^{\otimes 2}\to s\mathcal{O}$ (suspension sous forme d'espaces vectoriels gradués), la chose naturelle à faire est d'utiliser l'accolade $m\{-,-\}:\mathcal{O}^{\otimes 2}\to \mathcal{O}$, mais pour ce faire, il faut composer avec des suspensions et des désuspensions. À savoir,$M_2(x,y)=s(m\{(s^{-1}x,s^{-1}y)\})$. Et ça s'applique$(s^{-1})^{\otimes 2}(x,y)$ ce qui fait le signe $(-1)^{|x|}$apparaître. Si nous utilisons$(s^{\otimes 2})^{-1}$ au lieu de cela, nous obtenons le signe original $(-1)^{|x|+1}$.