Faible $L^p$ convergence pour passer à la limite dans l'approximation linéaire par morceaux de la fonction de signe?
Considérer $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ qui est une version lissée du $\mathrm{sign}$ fonction.
Supposer que $u_n \to u$ faiblement dans $L^p([0,1])$ pour tous $p \in [1,\infty]$ comme $n \to \infty$. Est-il vrai que$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ faiblement dans certains $L^p$?
Réponses
Supposer $\epsilon \le 1$. Sur$[0,1]$, laisser $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}, \ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}, \ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ ensuite $u_n \rightharpoonup 2$ dans $L^p([0,1])$ pour $1 \le p < \infty$, mais $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$.
Je ne suis pas sûr de $p = \infty$, mais je doute que ce contre-exemple fonctionne.