Fonction à valeur réelle bornée sur $[0,1]$, non intégrable?

Question

Une telle fonction existe-t-elle? Si oui, ce doit être un cas très pathologique. Je parle ici de l'intégrabilité de Lebesgue.

Par exemple, si $f(x)=1$ si $x$ est rationnel et nul sinon, alors $\int_0^1 f(x)dx = 0$. Vous devez donc trouver un exemple plus pathologique que cela. Un exemple possible est le suivant.

Laisser $f(x)$ être la réalisation d'une variable aléatoire gaussienne $Z_x$ avec une moyenne égale à $0$ et variance égale à $1$. Supposons que le$Z_x$sont distribués de manière identique et indépendante. Une telle fonction$f(x)$n'est nulle part continue et peut être vue comme la réalisation d'un bruit blanc. Cependant, vous pourriez affirmer que son intégrale sur$[0,t]$ est la valeur $B(t)$ d'une réalisation d'un mouvement brownien commençant par $B(0)=0$, et mesuré au temps $t$. Donc$\int_0^1 f(x) dx = B(1)$. Notez que les mouvements browniens ne sont nulle part différentiables, alors peut-être qu'il y a une contradiction dans ce que je dis ici.

Bref, je n'ai jamais trouvé de contre-exemples: une fonction bornée $[0, 1]$mais non intégrable dans cet intervalle. Pouvez-vous donner un exemple?

Answer 1

Laisser $f$ être une fonction bornée sur $[0,1]$.

Soit $f$ est mesurable, puis $$ \int_0^1 |f| ≤ \sup |f|\ \int_0^1 1\,\mathrm d x = \sup |f| < \infty $$ donc $f$ est intégrable.

Soit $f$n'est pas mesurable. Cela existe si vous supposez l'axiome du choix. Vous pouvez alors prendre n'importe quel ensemble non mesurable$\Omega$ et prend $f = \chi_\Omega$la fonction caractéristique de cet ensemble, comme suggéré par Nate Eldredge. Alors par définition, cette fonction n'est pas intégrable.