Fonction de probabilité pour la différence entre deux RV exponentiels iid

Question

Ma réponse est complètement fausse. Pouvez-vous s'il vous plaît me dire où ma logique a mal tourné.

Donald Trump et Tori Black doivent se rencontrer à une heure précise et tous deux seront en retard $ \sim Exponential(\lambda), i.i.d. $. Quel est le CDF de la différence d'heure d'arrivée.

Laisser $ X, Y$ être l'heure tardive et la différence être $Z = X - Y$. Les cas sont$z \geq 0$ et $z < 0 $.

Premièrement, pour $ z \geq 0$,

$ F_Z(z) = P(Z\leq z) = P(X-Y \leq z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y)$

Z $\geq 0$, alors $X \geq 0 $ pour tous $Y$.

$$\begin{align} F_Z(z) & = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-\lambda y}(-e^{-\lambda x}|_{z+y}^\infty) dy \\& = 1 - \int_0^\infty\lambda e^{-2\lambda y}e^{-\lambda z}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda y} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}\end{align}$$

Maintenant pour $z < 0$, où mon calcul s'est très mal passé .

De même, $F_Z(z) = 1 - P(X-Y > z) = 1 - P(X>Z+Y) $

$Z < 0$, donc pour $X \geq 0$, $Y$ devrait être $Y \geq -Z$, moi aussi:

$$\begin{align}F_Z(z) & = 1 - \int_{-z}^\infty(\int_{z+y}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot\lambda e^{-\lambda x}dx) dy \\& = 1- \int_{-z}^\infty \lambda e^{-\lambda y}\cdot e^{-\lambda (z+y)}dy \\& = 1 - e^{- \lambda z}\int_{-z}^\infty \lambda e^{-2\lambda y}dy \\& = 1 - e^{-\lambda z}\cdot \frac{1}{2}e ^{2\lambda z} \\& = 1 - \frac{1}{2}e^{\lambda z}.\end{align}$$

Par conséquent, mes réponses pour les deux cas sont les mêmes sauf le $z$ signe.

Les CDF corrects sont donnés dans le manuel comme

$F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}e^{-\lambda z}$ pour $z\geq 0$ et $\frac{1}{2}e^{\lambda z}$ pour $z<0$.

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J'ai oublié d'intégrer $Y$ plus de $\int_0^{-z}$ pour $z<0$, qui, une fois inclus, donne la réponse du manuel.

Answer 1

Vos limites intégrales ne sont pas correctes. Si vous dessinez la région d'intégration, ce sera dans le premier quadrant et à droite de la ligne$X-Y=z$. Ce sera plus facile à intégrer si l'ordre d'intégration est$dy dx$. Sinon, vous devrez calculer deux plages différentes:$0\leq y \leq -z$ et $-z<y<\infty$. Dans votre intégrale, vous calculez simplement le deuxième intervalle.

$$\begin{align}P(X>z+Y)&=\int_0^\infty \int_0^{x-z}\lambda e^{-\lambda x}\lambda e^{-\lambda y}dydx\\&=\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda(x-z)})dx\\&=1-e^{\lambda z}\int_0^\infty \lambda e^{-2\lambda x}dx\\&=1-e^{\lambda z}/2\end{align}$$

Cela donne $F_Z(z)=e^{\lambda z}/2$

Answer 2

Je ne répondrai pas à la question du PO quant à savoir où son analyse de l'affaire $z<0$ a mal tourné, mais indiquez plutôt un moyen plus simple d'obtenir la bonne réponse une fois que la valeur de $F_Z(z)$ a été déterminé à être $1-\frac 12 \exp(-\lambda z)$ quand $z > 0$.

Depuis $X$ et $Y$sont des variables aléatoires iid, la densité de$Z = X-Y$ doit être la même que la densité de $-Z = Y-X$, c'est-à-dire que la densité doit être une fonction paire . Une des conséquences de ceci est que$P(Z>\alpha) = P(Z<-\alpha)$ et donc nous obtenons immédiatement \begin{align} P(Z > z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < -z) &= \frac 12 \exp(-\lambda z), &z > 0,\\ &{\big \Downarrow}\\ P(Z < z) &= \frac 12 \exp(\lambda z), &z < 0,\\ \end{align} et donc, $$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(Z < z) = \frac 12 \exp(\lambda z), \,\,\,\ z < 0.$$

Answer 3

En fait, ce problème peut être résolu sans calculer aucune intégrale si vous partez de la connaissance que la distribution exponentielle est la seule distribution continue qui n'a pas de mémoire. Cela signifie que si une variable aléatoire$X\sim\text{Expon}(\lambda)$ alors aussi $X-a|X>a\sim\text{Expon}(\lambda)$ pour toute $a>0$. En d'autres termes, si$X$est le temps jusqu'à ce que Donald Trump arrive et qu'il ne soit pas arrivé après, disons, 10 minutes, puis le temps jusqu'à ce qu'il arrive au-delà de ces 10 minutes est également distribué comme$X$. Cela peut sembler contre-intuitif, mais il est facile à prouver.

Maintenant si $X,Y$ sont iid $\text{Expon}(\lambda)$ et l'heure d'arrivée de Donald et Tori respectivement, alors Donald sera le premier à arriver avec une probabilité de 0,5: $\text{Prob}(Y>X)=0.5$. Plus important encore dans ce cas, la propriété sans mémoire de$Y$ nous dit que $Y-X|Y>X \sim\text{Expon}(\lambda)$ quelle que soit la valeur de $X$ et donc $-Z|Y>X$ est $\text{Expon}(\lambda)$. De même, si Tori arrive en premier, avec probabilité$\text{Prob}[X>Y]=0.5$, puis $Z|X>Y$ est aussi $\text{Expon}(\lambda)$. En réunissant les deux cas, vous obtenez le résultat symétrique pour$F_Z(z)$ cela a été obtenu auparavant.

Answer 4

J'ai demandé cdf mais si c'était pour pdf .

Pour $z\geq 0, 0\leq z\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_z^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_z^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{-\lambda z} \end{align}$$

Pour $z<0, z< 0\leq x <\infty$, $$\begin{align} f_Z(z) &= \int_0^\infty f_X(x)\cdot f_y(x-z)dx \\ & = \lambda^2 e^{\lambda z}\int_0^\infty e^{-2\lambda x}dx \\ &= \frac{\lambda}{2}e^{\lambda z} \end{align}$$