Fonction de remplacement fibrant

Question

Dans l'extrait ci-dessous (tiré du livre MC de Hovey), pourquoi est-ce$$X\mapsto QX$$mais alors le sens est inversé :$$QX\to X$$?

Aussi, j'aimerais comprendre dans ce paragraphe comment$\alpha$et$\beta$sont utilisés pour obtenir ces foncteurs de remplacement : sont-ils tous les deux utilisés pour le foncteur de remplacement cofibrant, disons ?

Answer 1

L'axiome de factorisation fonctorielle affirme que chaque carte se factorise par une cofibration suivie d'une fibration acyclique (triviale) (et vous pouvez également déplacer la partie "triviale" vers le facteur de cofibration). Vu la carte$\varnothing \to X$, qui existe toujours sous la forme$\varnothing$est initial, on applique cet axiome pour obtenir une factorisation$$ \varnothing \to QX \to X $$où la première est une cofibration et la seconde une fibration triviale. Ceci est votre carte$QX \to X$. Le processus de faire cela, cependant, est un foncteur qui agit comme$X \mapsto QX$. Que ce soit un foncteur est le "fonctorial" dans la factorisation fonctorielle. Cela ne veut pas dire qu'il y a une carte$X \to QX$. En d'autres termes, le remplacement cofibrant donne un foncteur$Q$avec$Q(X)=QX$. Il a simplement écrit ceci comme$X \mapsto QX$(et pas$X \to QX$, ce qui signifierait quelque chose de différent et d'incorrect).