Fonctions de génération de moment de deux variables aléatoires
Laisser $X$ et $Y$ être une variable aléatoire indépendante avec la fonction de génération de moment respective
$M_x(t) = \frac{(8+e^t)^2}{81} $ et $M_y(t) = \frac{(1+3e^t)^3}{64} , -\infty<t<\infty $
ensuite $ P(X+Y = 1) $équivaut à
Je sais qu'en utilisant la fonction génératrice de moment, nous pouvons trouver la probabilité
$M_x(t) = P(X=0)e^{t*0} + P(X=1)e^{t*1}.....P(X=n)e^{t*n}$
En comparant ce mgf, nous pouvons obtenir la probabilité particulière. Mais comment faire cette question?
Réponses
Allusion: $X$ et $Y$sont des variables aléatoires à valeurs entières non négatives. Par conséquent$$P(X+Y=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)$$ $$=P(X=1)P(Y=0)+P(X=0)P(Y=1).$$ Notez maintenant que $M_X(t)=\frac {64+16e^{t}+e^{2t}} {81}$. Depuis$Ee^{tX}=\sum e^{nt}P(X=n)$ on voit ça $P(X=0)$ et $P(X=1)$ sont les coefficients de $e^{0t}$ et $e^{t}$. Pouvez-vous finir?
Il est bien connu que si $X\sim Bin(n,p)$ puis $MGF_X(t)=(1-p+pe^t)^n$. Donc$X\sim Bin(2,\tfrac{1}{9})$ et $Y\sim Bin(3, \tfrac{3}{4})$. D'ici,$\Pr(X+Y=1)=\Pr(X=0,Y=1)+\Pr(X=1,Y=0)$ et il reste à remplacer tous les nombres de la formule pour la distribution binomiale.