Forçage produit des systèmes symétriques
Étant donné une famille de notions de forçage $(P_i)_{i\in I}$ on peut prendre le produit $P:=\prod_{i\in I}P_i$ comme notion de forçage pour créer un filtre générique de la forme $G=(G_i)_{i\in I}$ tel que pour chaque $i\in I$ la projection $G_i$ correspond au filtre générique créé lors du forçage avec $P_i$. C'est ce qu'on appelle le forçage de produit et nous permet de joindre plusieurs types différents d'objets génériques à la fois. (Pour une discussion plus détaillée du sujet, voir Forçage du produit et objets génériques )
Ma question est maintenant de savoir si et comment le forçage produit peut être combiné avec un forçage symétrique. Supposons que nous ayons une famille de notions de forçage comme ci-dessus et une famille de groupes$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ aussi bien que $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ tel que $\mathcal{G}_i$ est un sous-groupe de $Aut(P_i)$ et $\mathcal{F}_i$ est un filtre normal sur $\mathcal{G}_i$ pour tous $i\in I$. Pouvons-nous simplement définir$P$ comme ci-dessus avec $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ agissant sur $P$ par composant et $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ comme filtre normal sur $\mathcal{G}$ ?
Par exemple, considérons le modèle symétrique original de Cohen de $ZF+\neg AC$ où il rejoint de manière dénombrable de nombreux réels génériques et procède ensuite à la construction d'un sous-ensemble infini $A\subset \mathbb{R}$sans sous-ensembles infiniment dénombrables. Ensuite, la construction décrite ci-dessus devrait nous permettre de joindre$I$ beaucoup de ces ensembles $(A_i)_{i\in I}$ immediatement.
Y a-t-il des complications que l'on pourrait rencontrer avec ce type de construction (c'est-à-dire le forçage symétrique du produit)? Existe-t-il de la littérature sur le sujet?
Réponses
Oui, il y en a beaucoup dans la littérature. Bien que très peu dans les voies du «cadre abstrait». C'est quelque chose qui a été fait essentiellement depuis les tout premiers jours du forçage, et vous pouvez en trouver la preuve dans les premiers articles.
Dans mes oeuvres
Karagila, Asaf , Extensions symétriques itératives, J. Symb. Journal. 84, n ° 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Karagila, Asaf , Le modèle Morris , Proc. Un m. Math. Soc. 148, n ° 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
Vous pouvez trouver un traitement plus général. Les produits sont un cas particulier d'itération, et le premier article traite du cas où le support est fini. Dans le cas d'un produit, cependant, nous pouvons nous passer de certaines des difficultés liées à la généralisation des itérations sur des supports arbitraires, et une partie du travail est effectuée dans le deuxième article.
En plus de cela, vous pouvez voir les produits définis "à la main" dans de nombreux endroits, il est facile de voir que les définitions sont valables pour tout type de système symétrique (mais les produits sont normalement utilisés avec des forçages de style Cohen). Voici quelques exemples récents, principalement tirés de mon travail qui ont tourné assez souvent sur ce sujet, et des exemples plus anciens.
Hayut, Yair; Karagila, Asaf , Spectres d'uniformité. , Commentat. Math. Univ. Carol. 60, n ° 2, 287-300 (2019). ZBL07144894 .
Karagila, Asaf , Intégration des ordres dans les cardinaux avec (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam. Math. 226, n ° 2, 143-156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila, A. , le lemme de Fodor peut échouer partout , Acta Math. Hung. 154, n ° 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Monro, GP , Résultats de l'indépendance concernant les ensembles finis Dedekind , J. Aust. Math. Soc., Ser. A 19, 35-46 (1975). ZBL0298.02066 .
Roguski, Stanisław , Une classe appropriée de cardinaux incomparables par paires , Colloq. Math. 58, n ° 2, 163-166 (1990). ZBL0706.03038 .
Entre tout cela, vous verrez des supports finis, dénombrables (ou $\kappa$-) prend en charge, Easton prend en charge, et vous verrez que sauter vers n'importe quoi d'autre (qui est maintenant juste un autre type de support mixte est vraiment la même chose).
En fait, nous avons même plus de pouvoir maintenant puisque nous pouvons parler de changer le support dans le produit des filtres et des groupes. On pourrait penser que cela signifie que nous pouvons en dire beaucoup plus, mais en fait, ce n'est généralement pas pertinent.
Dans mon article sur les itérations, j'ai décrit un concept appelé «ténacité». Vers la fin de mon doctorat. dans l'une des nombreuses discussions que j'ai eues avec Yair Hayut, nous avons décidé d'essayer de comprendre ce qui se cache vraiment sous ce concept. Et il s'est avéré que chaque système symétrique équivaut à un système tenace. Et cela signifie que jouer avec différents supports (c'est-à-dire un support fini sur les filtres tout en utilisant Easton sur le forçage) équivaut généralement au plus petit support que vous utilisez. Pas nécessairement toujours, mais généralement.
Quant au modèle Cohen, c'est un peu délicat. Chaque générique est un réel, et nous ne nous soucions pas seulement de ceux-ci, nous nous soucions également de l' ensemble de tous les génériques. Donc ce n'est en fait pas un produit, mais plutôt une itération d'ajout de chaque réel, violant le choix en n'ajoutant pas l'ensemble de tous les réels, puis en forçant à ajouter l'ensemble de génériques sans son bon ordre. Tout cela rend l'approche consistant à y penser comme une seule extension beaucoup plus simple.