Généralisation des champs à plus de deux opérations: ces définitions sont-elles équivalentes?
Voir la question précédente Un "champ généralisé" à trois opérations peut-il être infini?
Nous avons un ensemble $S$, et $n$ les opérations $\times_0,\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1}$ sur $S$. Chaque opération$\times_k$ est commutative, associative, a une identité $e_k\in S$, et distribue sur l'opération précédente $\times_{k-1}$. De plus, les identités sont toutes distinctes. Dénoter$S_k=S\setminus\{e_0,e_1,e_2,\cdots,e_{k-1}\}$ (comprenant que $S_0=S$, etc.). L'ensemble de la structure s'appelle un$n$-field s'il a d'autres propriétés.
Compte tenu des propriétés ci-dessus, est-ce que (certaines combinaisons de) les autres propriétés suivantes sont équivalentes?
$(1)$ Chaque $\times_k$ est inversible en ce sens que, pour tout $a\in S_k$, il existe $b\in S$ tel que $a\times_kb=e_k$.
$(2)$ Chaque $\times_k$ est inversible en ce sens que, pour tout $a\in S_k$, il existe $b\in S_k$ tel que $a\times_kb=e_k$.
$(3)$Chaque identité est nulle par rapport aux opérations supérieures; pour toute$k<l$ et n'importe quel $a\in S_k$, $e_k\times_la=e_k$.
$(4)$ De manière récursive, les deux structures $(S_0,\times_0,\times_1,\cdots,\times_{n-2},e_0,e_1,\cdots,e_{n-2})$ et $(S_1,\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1},e_1,e_2,\cdots,e_{n-1})$ sont $(n-1)$-des champs. (Et un$1$-field est un groupe abélien.)
$(5)$ Tout $(n-1)$ des structures $(S_k,\times_k,\times_{k+1},e_k,e_{k+1})$sont des champs. (Ou si$n=1$ la structure est un groupe abélien.)
Clairement $(2)$ implique $(1)$, et $(1)$ et $(3)$ impliquent ensemble $(2)$. Idéalement, je veux$(1)$ seul pour impliquer tous les autres.
Prouver $(4)$ pour la seconde structure (la première est facile), il suffit de montrer que $S_1$ est fermé sous $\times_1,\times_2,\cdots,\times_{n-1}$; c'est-à-dire si$a\neq e_0\neq b$, puis $a\times_kb\neq e_0$. Mais cela découle de$(3)$ et inversibilité.
Ma question liée prouve que $(1)$ implique les autres dans le cas $n=3$, et montre que non $n$-field existe pour $n>4$ à condition que ce soit vrai pour $n=4$. Alors concentrons-nous sur$4$-fields, et assume la propriété $(1)$.
Nous savons que la sous-structure $(S_0,\times_0,\times_1,\times_2,e_0,e_1,e_2)$ est un $3$-field, ce qui implique, pour tous $a\in S$,
$$e_0\times_0a=e_1\times_1a=e_2\times_2a=a,$$
$$e_0\times_1a=e_0\times_2a=e_0,$$
$$a\neq e_0\implies e_1\times_2a=e_1.$$
Les deux dernières lignes sont propriété $(3)$pour cette sous-structure. Compléter$(3)$, nous devons considérer l'opération finale $\times_3$:
$$e_0\times_3a\overset?=e_0,$$
$$a\neq e_0\overset?\implies e_1\times_3a=e_1,$$
$$e_0\neq a\neq e_1\overset?\implies e_2\times_3a=e_2.$$
Pour le dernier, définir $x=e_2\times_3a$ et en utilisant les lois algébriques données,
$$e_2\times_3a=(e_2\times_2e_2)\times_3a=(e_2\times_3a)\times_2(e_2\times_3a),$$
on voit ça $x=x\times_2x$est son propre carré. Si$x\in S_2$ (ce qui signifie que ce n'est pas $e_0$ ou $e_1$), alors c'est $\times_2$-inversible, et la division donne $e_2=x$. Si à la place$x=e_0$ ou $e_1$, puis
$$a=a\times_3e_3=a\times_3(e_3\times_2e_2)=(a\times_3e_3)\times_2(a\times_3e_2)=a\times_2x,$$
donc on obtient $a=a\times_2e_0=e_0$, ou $a=a\times_2e_1=e_1$, une contradiction. Par conséquent$x=e_2\times_3a=e_2$.
In fact we can prove $(2)$ from $(1)$, at least in the case $n=4$. We already know that $\times_0,\times_1,\times_2$ are invertible on their respective spaces $S_0,S_1,S_2$. It remains to consider $a\in S_3$: is its $\times_3$-inverse $b$ also in $S_3$? Suppose contrarily that $b=e_0$, $e_1$, or $e_2$. Then, from the known properties of $3$-fields, $b=b\times_2b$, and thus
$$e_3=a\times_3b=a\times_3(b\times_2b)=(a\times_3b)\times_2(a\times_3b)=e_3\times_2e_3;$$
but $e_3\in S_2$ is invertible; dividing gives $e_2=e_3$, a contradiction. So we must have $b\in S_3$.
Réponses
From the discussion near the end of the linked question, the $\times_1\times_2$ structure must be a field with characteristic not $2$; that is, $e_2\times_1e_2\neq e_1$. So the $\times_1$-inverse of $e_2$ (let's call it $x$) is not $e_2$ itself. Also
$$e_2\times_1x=e_1,$$
$$e_2\times_1e_1=e_2\neq e_1,\quad e_2\times_1e_0=e_0\neq e_1,$$
which shows that $x$ is not $e_1$ or $e_0$. This leaves us with $x\in S_3$.
Since $(-1)\cdot(-1)=1$ in any field, we have $x\times_2x=e_2$:
$$e_2=x\times_2x=(x\times_3e_3)\times_2(x\times_3e_3)=x\times_3(e_3\times_2e_3).$$
Let $y$ be the $\times_3$-inverse of $x$. It was shown in the OP that $y$ must be in $S_3$ (which is a subset of $S_2$) and that anything in $S_2$ is absorbed by $e_2\times_3y=e_2$. Multiplying the above equation by $y$, we find that
$$e_2\times_3y=x\times_3y\times_3(e_3\times_2e_3)=e_3\times_3(e_3\times_2e_3)$$
$$e_2=e_3\times_2e_3.$$
Now consider an arbitrary element $a\in S_2$:
$$a\times_2a=(a\times_3e_3)\times_2(a\times_3e_3)=a\times_3(e_3\times_2e_3)=a\times_3e_2=e_2.$$
In any field, the equation $a\cdot a=1$ has only two solutions, $a=\pm1$; that is, $a=e_2$ or $a=x$. Therefore, $S$ must have exactly $4$ elements. (In particular, $x=y=e_3$.)
Since any $n$-field is also a $k$-field for any $k<n$ (just ignore the operations $\times_k,\cdots,\times_{n-1}$), it follows that there are no $n$-fields for $n>4$.
But there is an odd surprise in the case $n=|S|=4$: the structure is not unique, and in fact $(1)$ does not imply $(3),(4),(5)$.
$$\begin{array}{c|cccc}\times_0&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_1&e_1&e_0&e_3&e_2\\e_2&e_2&e_3&e_0&e_1\\e_3&e_3&e_2&e_1&e_0\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}\times_1&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_2&e_0&e_2&e_3&e_1\\e_3&e_0&e_3&e_1&e_2\end{array}$$
$$\begin{array}{c|cccc}\times_2&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&e_1&e_1&e_1\\e_2&e_0&e_1&e_2&e_3\\e_3&e_0&e_1&e_3&e_2\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}\times_3&e_0&e_1&e_2&e_3\\\hline e_0&e_0&e_0&e_0&e_0\\e_1&e_0&\mathbf{e_0}&e_1&e_1\\e_2&e_0&e_1&e_2&e_2\\e_3&e_0&e_1&e_2&e_3\end{array}$$