Identité Ramanujan liée à JacobiFunction [duplicate]
L'identité suivante serait due à Ramanujan $$\int_0^\infty \frac{{\rm d}x}{(1+x^2)(1+r^2x^2)(1+r^4x^2)\cdots} = \frac{\pi/2}{\sum_{n=0}^\infty r^{\frac{n(n+1)}{2}}} \, $$mais comment le prouver? Le dénominateur du côté droit est lié à la fonction Jacobi, alors peut-être pourrait-on procéder via des formes modulaires?
Réponses
Une réponse partielle pour l'instant. Nous devons prouver que$$ \prod_{n\geq 1}\frac{1}{1+r^n}=\sum_{k\geq 0}\prod_{n=1}^{k}\frac{r^{2n-1}}{r^{2n}-1} $$ ou $$ \prod_{n\geq 1}\frac{1-r^n}{1-r^{2n}}=\sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n=1}^{k}\frac{1}{1-r^{2n}} $$ ou $$ \prod_{n\geq 1}(1-r^n) = \sum_{k\geq 0}(-1)^k r^{k^2} \prod_{n>k}(1-r^{2n}) $$
où le LHS, par le théorème des nombres pentagonaux d'Euler, est égal à $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(-1)^k r^{k(3k-1)/2} $$ et le coefficient de $r^m$ dans $\prod_{n>k}(1-r^n)$ dépend du nombre de partitions de $m$ en parties distinctes avec cardinalité $>k$, représenté par un signe positif ou négatif selon le nombre de pièces.
Maintenant, il ne devrait pas être difficile de prouver notre affirmation en utilisant la même involution exploitée dans la preuve combinatoire du théorème des nombres pentagonaux d'Euler, ou quelque chose d'assez proche de celui-ci.