Indice de problème USAMO.

Question

Montrer que pour tout entier positif n il existe un nombre à n chiffres divisible par 5$^n$dont tous les chiffres sont impairs.
USAMO 2003.

C'est la première fois que je vois un problème comme celui-ci, donc je ne sais pas quoi faire, l'induction, la construction, la vérification de petits cas, la contradiction sont quelques-unes des choses que j'ai essayées.

Je sais que je peux facilement trouver une solution n'importe où, mais je ne veux pas chercher une solution, alors veuillez donner des CONSEILS .

J'AI POSTÉ UNE SOLUTION https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution ICI, VEUILLEZ LE VÉRIFIER.

Veuillez ne pas donner la solution complète, tout indice serait apprécié.

Answer 1

Astuce: après le commentaire de Lulu, supposons que vous ayez formé un nombre $N$ avec $n-1$ chiffres impairs divisibles par $5^{n-1}$. Écrivons ce nombre comme$N = p\cdot5^{n-1}$. Ensuite, vous voulez trouver un chiffre impair$a$ tel que $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ pour un entier $k > 0$. C'est vrai si$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$. L'écriture$a = 2m+1$, pouvez-vous prouver que nous pouvons toujours trouver $m$? Aussi$m$ est mod $5$, et donc $a$ est un chiffre.

Le cas de base est évident.