Intégrer une fonction rationnelle `` tordue ''

Question

Pour $x\in [0,1]$, laisser $$ P_n (x) = \prod_{k=1}^{n} (x^k+1)^{(-1)^k}. $$Par exemple, $\displaystyle{P_4(x) = \frac{(x^2+1)(x^4+1)}{(x+1)(x^3+1)}}$. À noter:$P_n(1)=1/2$ si $n$ est étrange et $1$ si $n$ est pair, nous ne pouvons donc pas nous attendre à une convergence uniforme sur $[0,1)$. Je suis intéressé par la limite$\lim_{n\to\infty}P_n(x)$, s'il existe, et plusieurs intégrales associées, à savoir:

• Qu'il s'agisse $P(x):=\lim_{n\to\infty}P_n(x)$ existe et si oui ce que c'est
• $I_n:=\int_0^1 P_n(x)\,dx$ (cela semble être la plage naturelle d'intégration puisque nous voulons éviter les nombres négatifs et que la version à index pair explose pour $x>1$)
• $I:=\int_0^1 P(x)\,dx$

J'ai calculé les premières valeurs de $I_n$ par la main: $$ \left\{\log (2),\log (4)-\frac{1}{2},\frac{1}{27} \left(9+2 \sqrt{3} \pi \right),\frac{5}{2}+\frac{\pi }{9 \sqrt{3}}-\frac{8 \log (2)}{3}\right\} $$Puis j'ai calculé $20$valeurs utilisant un CAS; la séquence semble alterner avec les valeurs impaires augmentant et les valeurs paires diminuant (comme prévu). j'ai eu$I_{1000}\approx 0.79496$ et $I_{1001}\approx 0.794376$, donc je devinerais la limite $I$ est quelque part entre eux.

J'ai déjà vu des produits infinis, principalement dans le contexte de certains documents d'introduction que j'ai lus sur les séries hypergéométriques, alors n'hésitez pas à les utiliser dans votre réponse!

Answer 1

Le produit infini $$P(x) = \prod_{k=1}^\infty (x^k+1)^{(-1)^k}$$ converge vers une valeur différente de zéro si $|x| < 1$ car $$\sum_{k=1}^\infty \log \left((x^k+1)^{(-1)^k}\right) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \log(x^k+1)$$converge. Ses coefficients de la série Maclaurin sont la séquence OEIS A083365 . Selon cela,$P(x) = \psi(x) / \phi(x)$ où $\psi(x)$ et $\phi(x)$ sont des fonctions thêta de Ramanujan.