Je ne peux pas comprendre mes propres solutions pour $\log_5(3x-1)<1$ et $\log(6/x)>\log(x+5)$
J'ai ici deux exemples d'inégalités logarithmiques. En dépit de pouvoir résoudre, je ne pouvais tout simplement pas comprendre pleinement mon propre processus.
$\boxed{\text{Example 1: }\log_5(3x-1)<1}$
$\log_5(3x-1)<1 \Longleftrightarrow 3x-1<5 \Longleftrightarrow x<2$
Mais la solution n'est pas $x\in(-\infty, 2)$
Considérant maintenant les valeurs pour $x$ où $\log_5(3x-1)$ est défini: $ 3x-1>0 \implies x>\frac{1}{3}$
La solution est l'intersection. $$(-\infty, 2)\cap \left(\frac{1}{3}, \infty \right) \implies x\in \left(\frac{1}{3}, 2\right)$$
$\boxed{\text{Example 2: }\log \left(\frac{6}{x}\right)>\log(x+5)}$
Encore une fois, j'ai résolu
$\frac{6}{x}> x+5$ et $x+5>0$, comme $x>-5$ étant la plage de valeurs définies pour les logarithmes. $$\frac{6}{x}> x+5 \Longleftrightarrow \frac{6}{x}-x-5 > 0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{(x+6)(x-1)}{x} < 0$$
Ensuite, j'ai juste fait la table et j'ai obtenu $(-\infty, -6)\cup (0, 1) $
La solution à ce problème est $ ((-\infty, -6)\cup (0, 1))\cap (-5, \infty) \implies x\in(0, 1) $
Les objectifs de cette question sont:
- Comprendre comment mieux résoudre les inégalités, le comprendre plus intuitivement;
- Comprendre comment fonctionnent les inégalités, les comprendre plus intuitivement également;
- Pourquoi la réponse est l'intersection «solution» avec les valeurs définies;
Je suis désolé si la question est trop élémentaire, mais tout indice serait le bienvenu.
Réponses
Vous semblez avoir quelques idées.
C'est notre définition de base $\log_b x = y \implies x = b^y$
Si $y = 1$
$\log_b x = 1 \iff x = b$
Il existe quelques caractéristiques de base de la fonction.
La fonction est «monotone croissante». C'est$\log x > \log y \iff x > y$
La fonction est "injective": $\log x = \log y \iff x = y$
Et, le domaine de $\log x = (0,\infty).$ Si $x<0$ la fonction n'est pas définie.
Vous n'avez pas besoin de connaître ces mots de vocabulaire. Vous devez comprendre les implications en ce qui concerne la fonction logarithme.
Aux problèmes actuels.
$\log_5 (3x-1) < 1 \implies 3x-1 < 5$des deux premières règles. Et$3x-1 > 0$ de la dernière règle
Je pense que c'est une bonne idée d'énumérer toutes ces contraintes à l'avance.
Nous pourrions l'écrire comme: $0< 3x - 1 < 5$
$\frac 13 < x < 2$
Pour le deuxième problème:
$\log \frac 6x > \log (x+5)\\ \frac 6x > x + 5 \text { and }\frac{6}x > 0 \text { and } x+5 > 0$
Heureusement, $\frac{6}x > 0 \implies x > 0 \implies x+5 > 0$ afin que nous puissions supprimer la dernière contrainte.
La contraint $x>0$ nous rend un service, en ce sens que nous pouvons multiplier par $x$sans se soucier de retourner le signe de l'inégalité. S'il y avait une possibilité que x soit négatif, nous ne pourrions pas le faire.
$0 > x^2 + 5x - 6$ et $x>0$
$0>(x+6)(x-1)$ et $x>0$
La première inégalité a une solution $(-6,1)$ et le deuxième $(0,\infty)$
$(0,1)$ serait l'intervalle où les deux tiennent.
Vous semblez très bien résoudre ces inégalités. Il vaudrait peut-être mieux, comme suggéré dans les commentaires, d'énoncer d' abord les restrictions , puis de travailler à partir de là.
Dans la première question, par exemple, vous obtenez d'abord une solution ($x<2$) puis appliquer des restrictions à partir de là. Je pense que c'est peut-être ce qui vous laisse perplexe avec votre processus.
Quand on vous donne le logarithme $\log_5(3x-1)$, vous devez d'abord trouver les valeurs de $x$ satisfaisant $3x-1>0$, pour vous assurer de ne pas provoquer accidentellement la présence d'un nombre négatif dans votre logarithme. Une fois que vous obtenez$x>\frac{1}{3}$, alors vous pouvez commencer à chercher une solution à l'inégalité. Une fois que vous obtenez$x<2$, il vous sera facile d'appliquer la restriction sans avoir à y penser.
Il en va de même pour le second, mais vous n'avez pas non plus tenu compte du logarithme de gauche lors de la détermination des restrictions (c.-à-d.$x>-5$ mais tu n'as pas eu $x>0$, ce qui vous rapproche de la réponse). Je pense que cela vous aurait fait gagner du temps.
J'espère que cela vous aidera.