L'extension d'un groupe adapté par un groupe adapté est une possibilité
Je voudrais prouver que si $H\subset G$ est un sous-groupe normal normal tel que $G/H$ est prêt, alors $G$est prêt. La définition de l'agrément que j'utilise est la suivante:
Un groupe $G$ se prête si chaque action de $G$ par homéomorphismes d'un espace métrique compact admet une mesure de probabilité invariante.
Cette définition peut être trouvée sur les "Groupes de Difféomorphismes de Cercle" de Navas. J'ai essayé beaucoup de manières différentes mais je n'ai pas pu le prouver, je sais qu'il existe de nombreuses définitions équivallentes de la facilité mais j'aimerais (si possible) une preuve qui n'utilise que cette définition.
Voici ce que j'ai fait jusqu'à présent: Si $G$ agit sur $(M,d)$ puis $G/H$ agit sur $M/H$ (le quotient de $M$ par les orbites de $H$), le problème est que ce groupe n'est pas nécessairement métrique, ce qui pourrait doter le groupe quotient du pseudométrique $d'$ donné dans wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Quotient_metric_spaces (la topologie peut être plus faible que la topologie par quotient), puis effectuez un autre quotient $X=(M/H)/\sim$ où $[x]\sim [y]$ si $d'([x],[y])=0$. Ici$X$ est un espace métrique compact et nous pourrions prendre l'action de $G/H$ sur $X$ donné par ${[g]}({[[x]]})=[[y]]$ si $[[g(x)]]=[[y]]$, puisque $G/H$ se prête à une mesure de probabilité invariante, à savoir $\nu$. Maintenant les ensembles$A_{[[x]]}=\lbrace y\in M:[[y]]=[[x]]\rbrace$ sont compacts et invariants sous l'action de $H$, donc chacun a une mesure de probabilité invariante à savoir $\mu_{[[x]]}$ et nous pourrions définir la mesure de probabilité sur $M$ comme $$\mu(B)=\int_X \mu_{[[x]]}(B\cap A_{[[x]]})d\nu([[x]]).$$
Je ne sais pas si cela fonctionne en général, je ne pourrais pas le prouver ou le réfuter, je suppose que cela ne fonctionne pas car il pourrait y avoir un décalage interne des orbites de $H$ dans les décors $A_{[[x]]}$, mais j'espère que cela vous donne un aperçu de ce que j'essaye jusqu'à présent.
J'espère avoir été clair, merci d'avance.
Quelque chose qui pourrait aider: l'espace des mesures de probabilité sur un espace métrique est compact, vous pouvez donc utiliser la convergence des mesures de probabilité.
Réponses
Réparer un espace métrique compact $M.$ Laisser $W(M)$ désignent l'espace Wasserstein pour $M$: l'espace des mesures de probabilité sur $M,$avec la métrique de Wasserstein. La propriété importante est que cette métrique donne la topologie de la convergence faible, ce qui rend$W(M)$ un espace métrique compact.
Laisser $W(M)^H$ dénotent le sous-espace de $H$-mesures invariantes. Ceci est fermé, donc c'est aussi un espace métrique compact.
Une action de $G$ sur $M$ donne une action $(gp)(A)=p(g^{-1}A)$ sur $W(M).$ Puisque $H$ Est normal, $G$ conserves $W(M)^H$: si $p$ est $H$ invariant alors $p(g^{-1}hA)=p((g^{-1}hg)g^{-1}A)=p(g^{-1}A).$ Mais $H$ agit trivialement sur $W(M)^H,$ donc en fait $G/H$ agit sur $W(M)^H.$ Puisque $G/H$ est prêt, il y a un $G$-mesure invariante $\xi$ sur $W(M)^H.$
Il s'agit d'une mesure de probabilité sur un espace de mesures de probabilité. Pour obtenir une mesure sur l'espace d'origine$M,$nous avons besoin d'une intégration des mesures. Ou en d'autres termes la multiplication de la monade de Kantorovitch . Définir$E\xi\in W(M)$ par $(E\xi)(A)=\int p(A)d\xi(p)$ pour chaque Borel $A.$ La $G$-invariance de $\xi$ implique le $G$-invariance de $E\xi$: $$(gE\xi)(A)=\int (gp)(A)d\xi(p)=(E\xi)(A).$$
Enfin, je voudrais mentionner que le même argument fonctionne si vous supprimez la condition de métrizabilité partout. L'existence d'une mesure de probabilité invariante pour chaque$G$-action sur un espace de Hausdorff compact est l'une des rares définitions de l'aménabilité qui se généralise utilement à des groupes non localement compacts.
Je pense que l'équivalence de la définition de Navas et de la notion standard d'aménabilité s'appelle le théorème de Bogolyubov-Dey. Vous pouvez le trouver dans de nombreux endroits, voir par exemple la proposition 3.6 dans
Grigorchuk, Rostislav; de la Harpe, Pierre , Aménabilité et propriétés ergodiques des groupes topologiques: à partir de Bogolyubov , Ceccherini-Silberstein, Tullio (éd.) et al., Groupes, graphes et promenades aléatoires. Sélection d'articles de l'atelier, Cortona, Italie, du 2 au 6 juin 2014 à l'occasion du 60e anniversaire de Wolfgang Woess. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 978-1-316-60440-3 / pbk; 978-1-316-57657-1 / ebook). London Mathematical Society Lecture Note Series 436, 215-249 (2017). ZBL1397.43001 .
(Lire ici pour une version gratuite.) Compte tenu de ce résultat, vous pouvez utiliser plusieurs des preuves disponibles du fait que la classe des groupes sensibles est fermée sous des extensions, par exemple ici ou l'un des nombreux autres livres traitant des groupes sensibles.
Éditer. Il ressort clairement du contexte du livre que Navas définit l'aménabilité (et, par exemple, la propriété T) uniquement pour les groupes équipés d'une topologie discrète. Il est regrettable qu'il ne mentionne jamais l'aménabilité dans le contexte des groupes topologiques (équipés d'une topologie non discrète), utilise une définition non standard d'aménabilité et ne fournit aucune référence (pour autant que je sache) pour un traitement manuel général des groupes sensibles (et là sont plusieurs de ceux-ci, voir les références ici , au moins dans le cas de groupes localement compacts qui comprennent des groupes discrets).