La carte Gysin en $K$-théorie respect du bordisme?

Question

Laisser $X_1$ et $X_2$ être deux spin fermé$^c$ variétés qui sont bordantes via un spin$^c$ manifold-avec-frontière $W$.

Laisser $Z$ être une rotation fermée$^c$ collecteur avec $\dim Z=\dim X_1$ mod $2$. Laisser$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ être des cartes lisses telles que $F|_{X_1}=f_1$ et $F|_{X_2}=f_2$. Nous pouvons nous associer à$f_1$ et $f_2$ deux cartes dans le mauvais sens (ou Gysin) $K$-théorie:

$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$

Laisser $E_1\to X_1$ et $E_2\to X_2$ être deux $\mathbb{C}$-faisceaux vectoriels tels qu'il existe un bundle vectoriel $\Omega\to W$ satisfaisant $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ et $\Omega|_{X_2}\cong E_2$. Laisser$[E_i]\in K^0(X_i)$ dénotent le $K$-classes de théorie définies par $E_i$.

Question: est-il vrai que$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$?

Ajouté après: Je serais très intéressé par une approche n'utilisant pas directement la dualité de Poincaré pour la K-théorie / K-homologie.

Answer 1

Laisser $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$ et $f:M\to X$

Choisissez une intégration fluide $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$, dénoté par $\chi$ le paquet normal de $X$ et par $\mu$ le paquet normal de $M$ après une petite déformation appropriée de $i\circ f$.

Laisser $\nu=\mu|_N$ et $\eta$ être le paquet normal de $N\subset M$ (qui est trivial et unidimensionnel)

En considérant les quartiers tubulaires, nous obtenons la carte naturelle:

$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, où $Th$ désigne un espace Thom.

Après avoir appliqué l'isomorphisme de Thom $th$ sur $K^\bullet$ on obtient la définition d'une map Gysin (en allant "à droite" sur un $Th$'s). Donc pour$f_!(E|_N)=0$ il suffit de prouver que $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

Réellement $t^*$passe par un homomorphisme connexe. À savoir, il existe un diagramme commutatif:

$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$

La flèche du haut provient des quartiers tubulaires.

L'isomorphisme horizontal provient de la trivialité de $\eta$, pendant la suspension $\Sigma$ de la séquence cofibre Puppe:

$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$

La carte $\sigma$ explique la commutativité et provient de:

$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ où $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ est un collier de $N$.

Finalement, $\Sigma^*$ est l'homorphisme de connexion et il s'ensuit que $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ pour tous $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$, alors $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$

Answer 2

La réponse est oui, en utilisant les propriétés générales des orientations et des classes fondamentales.

Laisser $X_1$ et $X_2$ être $n$--dimensionnelle. ensuite$f_{!i}$ est le composite $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$

Pendant ce temps, la dualité de Poincaré pour $W$ a la forme $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$, et $d([W]) = [X_1]-[X_2]$. Donc$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$, et donc

$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$

depuis le composite

$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$

est zéro.