La composition d'un polynôme entier et d'un polynôme rationnel avec un coefficient non entier peut-elle aboutir à un polynôme entier?

Question

Peut-on trouver deux polynômes $p(x)$ et $q(x)$, où $p(x)$ est un polynôme monique non constant sur des entiers et $q(x)$ est un polynôme monique sur des rationnels avec au moins un coefficient non entier, tel que leur composition $p(q(x))$est un polynôme sur des entiers? Sinon, comment le prouver?

Par exemple, laissez $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ et $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$, puis $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$, donc peu importe les entiers $a_i$nous choisissons, le polynôme résultant aura un coefficient non entier. La condition monique est importante, sinon nous pourrions multiplier$p(x)$avec un tel entier qui garantirait que tous les coefficients sont des entiers. J'ai essayé de regarder le coefficient de composition pour les polynômes généraux, qui, je pense, devrait suivre cette formule:

\ begin {align} [x ^ r] p (q (x)) = \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dots + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n- (k_1 + \ points + k_m)} \ binom {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} {k_0, k_1, \ dots, k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} \ left (\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ right) \ end {align} (ici$a_i$ et $b_i$ sont les coefficients de $p(x)$ et $q(x)$ avec diplômes $n$ et $m$, respectivement). Cependant, il n'est pas du tout clair sur quel coefficient se concentrer pour prouver qu'il donnera le nombre non entier.

Cela s'est produit en essayant de résoudre le https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial, mais cela semble assez intéressant en soi.

Answer 1

En fait, nous pouvons ignorer l'hypothèse selon laquelle $q$est monique. La composition$p \circ q$ ne peut pas avoir tous les coefficients entiers.

Pour laisser $p$ être un facteur premier d'un dénominateur entièrement simplifié d'un coefficient de $q$. Considérez le plus grand$k$ st $p^k$ est un facteur d'un dénominateur d'un $q$coefficient. Puis écrivez le polynôme$q$ comme $x^j w(x) / p^k + s(x)$, où chaque numérateur entièrement simplifié de $w(x)$ n'est pas divisible par $p$ et pas de dénominateur entièrement simplifié de $s(x)$ est divisible par $p^k$, et où $w$a un terme constant non nul. Pour ce faire, regroupez tous les termes avec des dénominateurs divisibles par$p^k$, obtenant $x^j w(x) / p^k$, et tous les termes dont les dénominateurs ne sont pas divisibles par $p^k$, obtenant $x(x)$.

Laisser $n$ être le degré de $p$, et considérez le coefficient de $x^{jn}$ dans $p \circ q$. L'un des sommets contributeurs sera$w(0)^n / p^{kn}$, qui est entièrement simplifiée. Et aucun des autres sommets ne peut avoir un dénominateur divisible par$p^{kn}$. Ce coefficient n'est donc pas un entier.