La condition d'énergie positive dans la théorie quantique des champs pour les hamiltoniens associés à différents vecteurs de destruction de type temporel
L'effet Unruh est un exemple bien connu dans lequel deux hamiltoniens $H$ et $\hat H$associés à différents champs de vecteurs Killing semblables au temps ont tous deux une limite inférieure, dans la même représentation de l'espace de Hilbert, même s'ils ne sont pas liés les uns aux autres par une isométrie d'espace-temps. Cette question pose une question de généralisation.
Considérons une théorie quantique des champs dans l'espace-temps plat, exprimée en termes d'opérateurs de champ agissant sur un espace de Hilbert. Laisser$K$ et $\hat K$être deux champs de vecteurs de Killing différents de type temporel, pas nécessairement liés l'un à l'autre par une isométrie, et ne couvrant pas nécessairement tout l'espace-temps. (À titre d'exemple, pensez aux coordonnées de Rindler.) Soit$R$ être la région de l'espace-temps dans laquelle les deux champs de vecteurs de Killing sont définis, et considérer l'algèbre des observables dans $R$. Laisser$H$ et $\hat H$ être les opérateurs (hamiltoniens) qui génèrent des traductions de ces observables le long de $K$ et $\hat K$, respectivement.
Question: Supposons que l'algèbre soit représentée sur un espace de Hilbert de telle manière que le spectre de l'un des hamiltoniens$H$a une limite inférieure. Cela implique-t-il que le spectre de l'autre hamiltonien$\hat H$ a également une borne inférieure (dans la même représentation de Hilbert-espace)?$^\dagger$
Je ne cherche pas une preuve irréfutable, juste un argument convaincant - quelque chose d'assez clair pour que je puisse vérifier chaque étape d'une théorie du champ libre.
D'ailleurs, au cas où cela ne serait pas familier: la densité hamiltonienne n'est pas nécessairement définie positive en théorie quantique des champs, pas même dans une représentation où l'hamiltonien lui-même est défini positif. Voir Fewster (2005) "Inégalités énergétiques dans la théorie quantique des champs",https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073, qui dit (page 2):
Les champs quantiques sont connus depuis longtemps pour violer toutes ces conditions d'énergie ponctuelles [4] et, dans de nombreux modèles, la densité d'énergie est en fait illimitée par le bas sur la classe des états physiquement raisonnables.
$^\dagger$ La question se réfère à la façon dont les opérateurs sont représentés sur un espace de Hilbert. C'est important parce que$H$n'a généralement pas de limite inférieure dans la plupart des représentations de l'espace de Hilbert, même si c'est le cas dans l'une d'entre elles. La condition spectrale est une propriété d'une représentation spécifique de l'espace de Hilbert, pas seulement une propriété de l'algèbre abstraite des observables.
Réponses
La réponse est non , et ironiquement, l'exemple que j'ai utilisé pour motiver la question est en fait un contre-exemple: le spectre de l'hamiltonien de Rindler n'a pas de borne inférieure.
Le hamiltonien de Rindler génère des augmentations dans l'espace-temps de Minkowski. Une expression en termes du tenseur énergie-contrainte est représentée dans l'équation (25) dans
- Jacobson, "Trous noirs et rayonnement Hawking dans l'espace-temps et ses analogues", https://arxiv.org/abs/1212.6821
Cette expression montre clairement que l'hamiltonien de Rindler ne peut pas avoir de borne inférieure.
Avec le recul, cela est évident par symétrie. L'inverse d'un boost est le même qu'un boost combiné à une réflexion spatiale. Une réflexion spatiale ne modifie pas le spectre, mais l'inverse inverse le signe du spectre. La seule façon dont ils peuvent être les mêmes est si le spectre est symétrique autour de zéro. Par conséquent, si le spectre n'a pas de limite supérieure, il ne peut pas non plus avoir de limite inférieure.
Remarques:
L'article de Jacobson (cité ci-dessus) ne considère qu'un hamiltonien partiel obtenu en intégrant sur un «coin de Rindler», mais cette surface d'intégration n'est pas une surface de Cauchy. Pour voir l'hamiltonien complet sur une surface de Cauchy, nous devons considérer les coins de Rindler gauche et droit ensemble, puis il est évident que l'hamiltonien complet ne peut pas avoir de limite inférieure.
Attention, une partie de la littérature sur l'effet Unruh redéfinit tacitement le nom «état de vide» pour signifier quelque chose de différent de «état de plus faible énergie».
Pour une analyse approfondie de certaines subtilités, voir Requardt, "The Rigorous Relation between Rindler and Minkowski Quantum Field Theory in the Unruh Scenario", https://arxiv.org/abs/1804.09403
En QFT (théorie quantique des champs) la densité lagrangienne $\mathcal L$est construit pour être invariant de Lorentz. Sur la base du lagrangien, vous construisez une densité hamiltonienne$\mathcal H$, qui doit être défini positivement.
Si vous changez le système de référence, formellement le lagrangien ne change pas, donc l'hamiltonien non plus. Par conséquent, le caractère définitif positif de l'hamiltonien se maintiendra, même s'il est appliqué aux champs transformés.
Supposons que vous puissiez démarrer un aspirateur Minkowski $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$. Ensuite, pour tout vecteur Killing semblable au temps (que je considérerai comme spécifiant une courbe semblable au temps ou un observateur accéléré), nous pouvons demander s'il y a du vide. Localement, la région de l'espace sur laquelle le champ de mise à mort est défini peut être placée sous la forme de coordonnées de Rindler. En d'autres termes, à chaque instance de temps propre, nous savons ce qu'est l'accélération et la covariance générale vous indique que localement la physique est la même que l'espace de Minkowski. Le vide de Minkowski pour cet observateur devrait donc ressembler à un état thermique, peut-être avec une température variable. En d'autres termes, un observateur accéléré voit toujours un horizon effectif auquel on peut attribuer une température, donc vos questions doivent être répondues par l'effet Unruh.