La norme 2 d'une matrice est-elle limitée par le maximum de sa norme 1 et de sa norme Infinity?

Question

J'implémente l'algorithme dans "Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy" de Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenny, Alan J. Laub, 2001.

Dans cet algorithme, je voudrais éviter de calculer la norme 2 d'une matrice carrée à valeur réelle $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Des expériences numériques me suggèrent que la limite supérieure suivante est valable

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

Quelqu'un peut-il confirmer si cette inégalité tient toujours? Merci et bonne année!

Un utilisateur a fait remarquer que Cauchy-Schwarz implique

$\|A\|_2 \leq \sqrt n \min ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

ce qui dans certains cas améliore la borne, mais pas toujours. J'espère donc que ma question initiale est toujours d'actualité. Un contre-exemple à l'inégalité suggérée serait également apprécié, s'il existe.

Answer 1

En effet:

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

découle de

$\|A\|_2 \leq \sqrt { \|A\|_1 \|A\|_\infty } \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

qui - selon Wikipedia - est un cas particulier de l'inégalité de Hölder.